Ege profiil 17 ülesanne. KASUTAMINE matemaatikas (profiil)
Selles artiklis käsitleme ülesannete 17 probleemide lahendamist, mille puhul on vaja toodangut optimaalselt jaotada, et saada maksimaalne kasum.
1. ülesanne. Konservitehas toodab puuviljakompotte kahte tüüpi anumas – klaasist ja plekist. Tehase tootmisvõimsus lubab päevas toota 90 senti klaasnõus või 80 senti plekknõudes kompotte. Jaekettide poolt esitatavate sortimendi tingimuste täitmiseks peab igas konteineritüübis olema tooteid vähemalt 20 senti. Tabelis on näidatud tehase maksumus ja müügihind 1 senti toodete kohta mõlemat tüüpi konteinerite puhul.
Eeldusel, et kõik taime tooted on nõutud (müüakse jäljetult), leidke tehase maksimaalne võimalik ühe päeva kasum (kasum on kõikide toodete müügihinna ja selle maksumuse vahe).
Kasumi suurus sõltub sellest, kuidas tehases tootmisvõimsused jaotatakse ehk milline osa võimsustest suunatakse kompottide tootmiseks klaasmahutis ja milline osa - tina. Väärtust, millest kasum sõltub, võetakse kui teadmata.
Olgu väärtuseks osa tehase võimsusest, mis on suunatud klaasanumates kompottide tootmisele. Seejärel on ülejäänud võimsused suunatud tinakonteinerites kompottide tootmisele.
Sel juhul toodab tehas senti kompotti klaasanumas ja senti tina.
Kasum ühest toodangusendisest võrdub müügihinna ja omahinna vahega. Sellel viisil
1 senti kompotti klaasnõus teeb kasumit
1 senti kompotti plekknõudes teeb kasumit
Selle tulemusena saadav kasum, olenevalt tahtest
Lihtsustage funktsiooni avaldist
Koefitsient at on suurem kui null, seetõttu on see kasvav funktsioon ja mida suurem väärtus, seda suurem on kasum. Kuid vastavalt probleemi seisukorrale on võimatu anda kõiki võimsusi klaasanumates kompottide tootmiseks: jaekettide poolt esitatud sortimendi tingimuste täitmiseks peab igas konteineritüübis olema tooteid vähemalt 20 senti.
Uurime, milline osa võimsustest tuleks anda plekk-anumates kompottide valmistamisele:
Plekist anumates kompottide tootmiseks on vaja anda osa tehase kõigist võimsustest, seetõttu saab klaasnõus kompottide tootmiseks anda maksimumi kõigist võimsustest.
Vastus: .
2. ülesanne. Taluniku käsutuses on kaks põldu, kummagi pindala on 10 hektarit. Igal põllul saab kasvatada kartulit ja peeti ning põlde võib nende kultuuride vahel jagada suvalises vahekorras. Kartulisaak esimesel põllul on 500 c/ha ja teisel - 300 c/ha. Peedisaak esimesel põllul on 300 c/ha, teisel aga 500 c/ha.
Talunik saab müüa kartulit hinnaga 5000 rubla. protsenti ja peet - hinnaga 8000 rubla. protsenti senti. Kui suur on maksimaalne sissetulek, mida põllumees saab teenida?
(kogumikust Tüüpilised testiülesanded matemaatikas, toimetanud I. V. Jaštšenko. 2016)
Põllumehe sissetuleku suurus sõltub sellest, kuidas jaotatakse iga põllu pindala kartuli- ja peediistanduste vahel.
Põllumees võtab esimesel põllul hektari kartuli jaoks. Siis jääb ha peedi alla.
Kartuli saak esimesel põllul on 500 c/ha, peedil 300 c/ha.
Sel juhul on esimese välja kasum - meil on kasvav funktsioon, mis võtab suurima väärtuse maksimaalse võimaliku väärtuse juures. Kuna kartuli ja peedi vahel istutusalade jaotamisel piiranguid pole, on põllumehel kasulik kogu esimene põld kartuliks anda, siis saab ta kasumit:
Hõõruge.
Teeme sama ka teise väljaga.
Las põllumees võtab teisel põllul hektari kartuli jaoks. Siis jääb ha peedi alla.
Kartuli saak teisel põllul on 300 c/ha, peedil 500 c/ha.
Kui järele mõelda, ei pea siin isegi funktsiooni tegema, sest peedi saagikus on teisel põllul suurem kui kartulil ja ka ühe sendi peedi maksumus on suurem. Seetõttu on ilmne, et põllumehel on kasulikum kasvatada ainult peeti teisel põllul. Sel juhul on kasum teisest väljast
Hõõruge.
Taluniku kogukasum on RUR.
Vastus:
KASUTADA matemaatika profiili tasemel
Töö koosneb 19 ülesandest.
1. osa:
8 ülesannet keerukuse algtaseme lühikese vastusega.
2. osa:
4 ülesannet lühikese vastusega
7 kõrge keerukusega ülesannet üksikasjaliku vastusega.
Kestus - 3 tundi 55 minutit.
Näited USE ülesannetest
USE ülesannete lahendamine matemaatikas.
Eraldiseisva lahenduse jaoks:
1 kilovatt-tund elektrit maksab 1 rubla 80 kopikat.
Elektriarvesti näitas 1. novembril 12625 kilovatt-tundi ja 1. detsembril 12802 kilovatt-tundi.
Kui palju peate novembris elektri eest maksma?
Esitage oma vastus rublades.
Probleem lahendusega:
Tavalise kolmnurkse püramiidi ABCS, mille alus on ABC, servad on teada: AB \u003d 5 juurt 3-st, SC \u003d 13.
Leia nurk, mille moodustavad aluse tasapind ja servade AS ja BC keskpunkti läbiv sirgjoon.
Lahendus:
1. Kuna SABC on korrapärane püramiid, siis ABC on võrdkülgne kolmnurk ja ülejäänud tahud on võrdsed võrdhaarsed kolmnurgad.
See tähendab, et aluse kõik küljed on 5 sqrt (3) ja kõik külgmised servad on 13.
2. Olgu D punkti BC keskpunkt, E ASi keskpunkt, SH kõrgus punktist S püramiidi põhjani, EP kõrgus punktist E püramiidi põhjani.
3. Otsige Pythagorase teoreemi abil täisnurksest kolmnurgast CAD üles AD. Saate 15/2 = 7,5.
4. Kuna püramiid on korrapärane, on punkt H kolmnurga ABC kõrguste / mediaanide / poolitajate lõikepunkt, mis tähendab, et see jagab AD suhtega 2: 1 (AH = 2 AD).
5. Leidke SH täisnurksest kolmnurgast ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, Pythagorase teoreemi järgi SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.
6. Kolmnurgad AEP ja ASH on mõlemad täisnurksed ja neil on ühine nurk A, seega sarnased. Eeldusel on AE = AS/2, seega nii AP = AH/2 kui ka EP = SH/2.
7. Jääb üle arvestada täisnurkse kolmnurga EDP-ga (meid huvitab lihtsalt nurk EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;
nurga puutuja EDP = EP/DP = 6/5,
Nurk EDP = arctg (6/5)
Vastus:
KASUTAGE 2019. aastat matemaatika ülesandes 17 koos lahendusega
2019. aasta ühtse riigieksami demoversioon matemaatikas
Matemaatika 2019. aasta ühtne riigieksam pdf-vormingus Algtase | Profiili tase
Matemaatika eksamiks valmistumise ülesanded: alg- ja profiilitase koos vastuste ja lahendustega.
finantsmatemaatika
Õigesti tehtud ülesande eest ilma vigadeta saate 3 punkti.
Umbes 35 minutit.
Profiilitaseme matemaatika ülesande 17 lahendamiseks peate teadma:
- Ülesanne on jagatud mitmeks tüübiks:
- pankade, hoiuste ja laenudega seotud ülesanded;
- ülesanded optimaalseks valikuks.
- Kuumakse arvutamise valem: S krediit = S/12t
- Lihtintressi arvutamise valem: S=α (1 + tp/m)
- Liitintressi arvutamise valem: C \u003d x (1 + a%)n
protsent – on üks sajandik väärtusest.
- x*(1 + p/100) – väärtus x võrra suurenenud lk%
- x*(1 - k/100) – väärtus x võrra vähenenud k%
- x*(1 + p/100) k - väärtus x võrra suurenenud lk% küks kord
- x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – väärtus X esmalt suurendati lk% ja seejärel vähenes k%
Ülesanded laenu tagasimaksmiseks võrdsetes osades:
Laenusummat võetakse kui X. Pangaintress - aga. Laenu tagasimakse - S.
Aasta pärast intressi arvestamist ja summa tasumist S võlg - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100
- Võlg 2 aasta pärast: (xp-S)p-S
- Võlg pärast 3 aastat: ((xp - S)p - S)p - S
- Võlasumma läbi n aastat: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)
2018. aastal ilmusid matemaatika ühtsele riigieksamile ülesanded, mis hirmutasid paljusid lõpetajaid. "See on hirmutav," ütlesid nad pärast eksamit. - Seda pole kunagi varem juhtunud. Seda on võimatu otsustada."
Muidugi tunnen kaasa kandideerijatele, kelle jaoks eksam on ikka suur stress. Eksam on test mitte ainult teadmistele, vaid ka meelekindlusele ja oskusele keerulises olukorras tegutseda. Ja võib-olla öelge endale: "Jah, ülesanne on ebatavaline, kuid ma tean üldist lähenemist selliste probleemide lahendamisele - saan ka seekord hakkama."
Kas tõesti olid 2018. aastal matemaatika ühtse riigieksami “panganduslikud” ülesanded nii hirmutavad? Nad on omapärased. Neid ei saa lahendada ilma ettevalmistuseta, teadmata, kuidas laenu USE ülesanded üldiselt on korraldatud.
Pidage meeles, et neid on ainult kaks iseloomulik tüüpi "pangandus" või laenuülesanded.
1 tüüp. Laenumakseid tehakse võrdsed maksed . Seda skeemi nimetatakse ka "annuiteediks". Esimesse tüüpi kuuluvad ka kõik probleemid, kus maksed(või on regulaarsus antud spetsiaalselt maksed ).
2 tüüpi. Laenu tagasimaksed on valitud nii, et võlasumma väheneb ühtlaselt . See on nn diferentseeritud makseskeem. Teise tüübi alla kuuluvad ka ülesanded, mille regulaarsus väheneb võla summa .
Umbes kaks laenuprobleemide lahendamise skeemi - minu lühike teoreetiline materjal.
Vaatame sellest vaatenurgast USE-2018 "panganduslikke" ülesandeid.
15. detsembril on plaanis võtta pangast laen 21 kuuks. Tagastamistingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 3% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuni 20. kuupäevani peab võlgnevus olema 30 tuhat rubla väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlg;
- 21. kuu 15. kuupäevaks peab laen olema täielikult tasutud.
Kui suur summa on plaanis laenata, kui maksete kogusumma pärast selle täielikku tagasimaksmist on 1604 tuhat rubla?
Kõigepealt tutvustame muutujaid. Arvutused tehakse tuhandetes rublades.
Olgu S laenusumma
Z on maksete kogusumma, Z = 1604 (tuhat rubla).
X - igakuine võlasumma vähenemine, X \u003d 30 (tuhat rubla),
p=3% - panga poolt igakuiselt arvestatav intress. Pärast esimest intresside kogunemist on võlasumma võrdne Pärast iga intressi kogunemist suureneb võlasumma teguri võrra. Meie ülesandes on k = 1,03.
Teeme kindlaks, mis tüüpi ülesanne kuulub. Võlg väheneb ühtlaselt (tingimuse järgi, Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuni 20. kuupäevani peab võlgnevus olema 30 tuhat rubla väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeval.). Nii et see on teist tüüpi probleem. Ja teist tüüpi ülesannetes joonistame järgmise skeemi:
Pärast esimest intresside arvestamist on võla suurus võrdne kS-ga. Seejärel on pärast esimest makset võlasumma võrdne S - X, kus X = 30 (tuhat rubla).
Seega on esimene makse võrdne kS - (S - X) (vt diagrammi).
…
Viimane väljamakse: k (S - 20 X).
Leidke maksete kogusumma Z.
Z = kS - (S - X) + k (S - X) - (S - 2X) + ... + k (S - 20X) =
= k (S + S - X + S - 2X + ... + S - 20X) - (S - X + S - 2X + ... + S - 20X).
Oleme rühmitanud tegurit k sisaldavad terminid ja ilma kta terminid.
Lihtsustame sulgudes olevaid väljendeid:
k (21S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) - (20S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) = Z.
Seda tüüpi ülesannete puhul (kui võlasumma väheneb ühtlaselt) rakendatakse aritmeetilise progressiooni summa valemit:
Selle probleemi puhul kasutame seda ka meie.
k (21 S - 210X) - 20 S + 210 k = S (21 k - 20) - 210 X (k-1) \u003d Z.
Jääb üle asendada arvväärtused.
S (21 ⋅ 1,03 - 20) - 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.
Seega S = 1 100 tuhat rubla = 1 100 000 rubla.
Järgmine ülesanne on sama tüüpi. Matemaatiline mudel on sama. Peate lihtsalt leidma teise väärtuse – panga poolt küsitavad intressid. Lisaks pole teada, mitu kuud laenu võeti.
15. detsembril on plaanis võtta (n+1) kuuks pangalaenu 1 000 000 rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus eelmise kuu lõpuga võrreldes r%;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuupäevast kuni n-ni peab võlgnevus olema 40 tuhat rubla väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus;
- n-nda kuu 15. kuupäeval on võlg 200 tuhat rubla;
- (n + 1) kuu 15. kuupäevaks peab laen olema täielikult tasutud.
Leidke r, kui on teada, et maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist on 1378 tuhat rubla.
S \u003d 1000000 rubla \u003d 1000 (tuhat rubla) - laenusumma,
X \u003d 40 (tuhat rubla) - igakuine võlasumma vähendamine,
Z = 1378 (tuhat rubla) - maksete kogusumma,
Koefitsient, mis näitab, mitu korda on võlasumma pärast intresside kogumist suurenenud.
Joonistame juba tuttava laenu tagasimakse skeemi.
Esimene väljamakse: kS - (S - X).
Teine väljamakse: k (S - X) - (S - 2X).
Viimane makse: k (S - n X).
Tingimuste järgi, N-nda kuu 15. kuupäeval on võlg 200 tuhat rubla.
Niisiis, S - nX = 200. Asendame arvandmed:
1000 - 40 n = 200; siis n = 20, n + 1 = 21 ehk siis laenu võeti 21 kuuks. Väga mugav - kuude arv selles probleemis osutus samaks kui eelmises. Seetõttu kordame väga lühidalt lahenduse põhipunkte.
Väljamakse Z kokku:
Z = kS - (S - X) + k (S - X) - (S - 2X) + ... + k (S - X) =
= k (S + S - X + S - 2X + ... + S - 20X) - (S - X + S - 2X + ... + S - 20X) =
= k (21S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) - (20S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) =
\u003d k (21 S - 210X) - 20 S + 210 k \u003d S (21 k - 20) - 210 X (k-1).
Aritmeetilise progressiooni summa jaoks kasutasime jälle sama valemit:
Tingimuse järgi Z = 1378 (tuhat rubla).
Väljendage k valemist S (21k - 20) - 210 X (k-1) = Z:
Asendage andmed probleemi seisundist.
Vastus: r = 3%.
Kolmas ülesanne USE-2018 "õudusunenägude" hulgast matemaatikas. Sama skeem!
3.
15. detsembril on plaanis võtta 21 kuuks pangalaenu summas 300 tuhat rubla. Tagastamistingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 2% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuni 20. kuupäevani peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeval võlgnevus;
- 20. kuu 15. kuupäeval on võlg 100 tuhat rubla;
- 21. kuu 15. kuupäevaks peab laen olema täielikult tasutud.
Leia maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist.
Samuti teist tüüpi ülesanne - seal on teave võlasumma vähendamise kohta. Samamoodi teostame arvutusi tuhandetes rublades.
Nagu alati, tutvustame mõnda tähistust. Mugavuse huvides teostame arvutusi tuhandetes rublades.
S = 300 (tuhat rubla) - laenusumma,
n = 21 – kuude arv,
X - igakuine võlasumma vähenemine,
Z on maksete kogusumma.
Joonistame sama skeemi nagu eelmises ülesandes. Tingimuse kohaselt on võlgnevus 20. kuu 15. kuupäeval 100 tuhat rubla.
Niisiis, S - 20 X = 100. Asendades tingimuse andmed, leiame, et X = 10.
Samamoodi arvutame välja maksete summa (vt ülesanded 1 ja 2).
Z = S (21 k - 20) - 210 X (k-1).
Asendame andmed tingimusest: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 - 20) - 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (tuhat rubla).
Vastus: 384 000 rubla.
Täna kaldume veidi kõrvale standardlogaritmidest, integraalidest, trigonomeetriast jne ning koos kaalume üht elulisemat ülesannet matemaatika ühtsest riigieksamist, mis on otseselt seotud meie mahajäänud Venemaa ressursipõhise majandusega. Ja kui täpne olla, siis käsitleme hoiuste, intresside ja laenude probleemi. Sest just protsentidega ülesanded on hiljuti lisatud matemaatika ühtse riigieksami teise osasse. Teen kohe reservatsiooni, et vastavalt USE spetsifikatsioonidele pakutakse selle probleemi lahendamiseks korraga kolm peamist punkti, st eksamineerijad peavad seda ülesannet üheks kõige keerulisemaks.
Samal ajal peate matemaatika ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks teadma ainult kahte valemit, millest igaüks on igale koolilõpetajale üsna kättesaadav, kuid mulle arusaamatutel põhjustel on need valemid täiesti ignoreeritud nii kooliõpetajate kui ka erinevate eksamiks valmistumise ülesannete koostajate poolt. Seetõttu ei ütle ma teile täna lihtsalt, mis need valemid on ja kuidas neid rakendada, vaid tuletan kõik need valemid sõna otseses mõttes teie silme all, võttes aluseks matemaatika avatud USE panga ülesanded.
Seetõttu osutus tund üsna mahukaks, üsna sisukaks, nii et tehke end mugavalt ja alustame.
Raha panka panemine
Kõigepealt tahaks teha väikese lüürilise kõrvalepõike, mis on seotud rahanduse, pankade, laenude ja hoiustega, mille põhjal saame valemid, millega seda probleemi lahendame. Niisiis, kaldume veidi kõrvale eksamitest, eelseisvatest kooliprobleemidest ja vaatame tulevikku.
Oletame, et olete suureks saanud ja kavatsete korterit osta. Oletame, et ostate 20 miljoni rubla eest mitte halva korteri, vaid hea kvaliteediga korteri. Samas oletame ka, et saite enam-vähem normaalse töö ja teenite 300 tuhat rubla kuus. Sel juhul saate aasta jooksul säästa umbes kolm miljonit rubla. Muidugi, teenides 300 tuhat rubla kuus, saate aasta eest veidi suurema summa - 3 600 000 -, kuid kulutagu need 600 000 toidule, riietele ja muudele igapäevastele majapidamisrõõmudele. Sisendandmed on kokku järgmised: teenida on vaja paarkümmend miljonit rubla, samas kui meie käsutuses on vaid kolm miljonit rubla aastas. Tekib loomulik küsimus: mitu aastat peame kolm miljonit kõrvale panema, et need samad paarkümmend miljonit kätte saada. Seda peetakse elementaarseks:
\[\frac(20)(3)=6,...\kuni 7\]
Kuid nagu me juba märkisime, teenite kuus 300 tuhat rubla, mis tähendab, et olete targad inimesed ega hoia raha "padja alla", vaid viite selle panka. Ja seetõttu võetakse igal aastal panka toodavate hoiuste pealt intressi. Oletame, et valite usaldusväärse, kuid samal ajal enam-vähem kasumliku panga ja seetõttu kasvavad teie hoiused aastas 15% võrra. Teisisõnu võime öelda, et teie kontodel olev summa suureneb igal aastal 1,15 korda. Tuletan teile meelde valemit:
Arvutame välja, kui palju raha teie kontodel iga aasta järel on:
Esimesel aastal, kui alles hakkate raha säästma, ei kogune intressi, see tähendab, et aasta lõpus säästate kolm miljonit rubla:
Teise aasta lõpus kogunevad juba intressid nendele kolmele miljonile rublale, mis on jäänud esimesest aastast, s.o. peame korrutama 1,15-ga. Teise aasta jooksul teatasite aga veel kolmest miljonist rublast. Muidugi polnud neil kolmel miljonil veel intressi kogunenud, sest teise aasta lõpuks olid need kolm miljonit alles kontole ilmunud:
Niisiis, kolmas aasta. Kolmanda aasta lõpus koguneb sellelt summalt intress, see tähendab, et kogu summa on vaja korrutada 1,15-ga. Ja jälle, terve aasta tegite kõvasti tööd ja panite kõrvale kolm miljonit rubla:
\[\left(3m\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m\]
Arvutame veel neljandat aastat. Jällegi, kogu summa, mis meil oli kolmanda aasta lõpus, korrutatakse 1,15-ga, s.o. Kogu summalt arvestatakse intressi. See hõlmab intressi intressidelt. Ja sellele summale lisandub veel kolm miljonit, sest neljandal aastal töötasite ja ka säästsite raha:
\[\left(\left(3m\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m\]
Ja nüüd teeme sulgud lahti ja vaatame, mis summa meil neljanda säästmisaasta lõpuks käes on:
\[\begin(joona)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cpunkt ((1,15)^(2))+3m\cpunkt 1,15+3m \paremal)\cpunkt 1,15+3m= \\& =3m\cpunkt ((1,15)^(3 ))+3m\cpunkt ((1,15)^(2))+3m\cpunkt 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \parem)= \\& =3m\vasak(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \parem) \\\end(joonda)\]
Nagu näete, on sulgudes geomeetrilise progressiooni elemendid, st meil on geomeetrilise progressiooni elementide summa.
Tuletan meelde, et kui geomeetrilise progressiooni annab element $((b)_(1))$ ja ka nimetaja $q$, siis arvutatakse elementide summa järgmise valemi abil:
See valem peab olema teada ja selgelt rakendatud.
Pange tähele: valem n element kõlab järgmiselt:
\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]
Selle kraadi tõttu on paljud õpilased segaduses. Kokku on meil just n summa eest n- elemendid ja n-ndal elemendil on aste $n-1$. Teisisõnu, kui proovime nüüd arvutada geomeetrilise progressiooni summat, siis peame arvestama järgmisega:
\[\begin(joona)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(joonda)\]
\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]
Arvutame lugeja eraldi:
\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\ligikaudu 1,75\]
Kokkuvõttes, naastes geomeetrilise progressiooni summa juurde, saame:
\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]
Selle tulemusel saame, et nelja säästuaastaga ei kasva meie esialgne summa mitte neli korda, nagu me poleks raha panka paigutanud, vaid viis korda ehk viisteist miljonit. Kirjutame selle eraldi:
4 aastat → 5 korda
Tulevikku vaadates ütlen, et kui oleksime säästnud mitte neli, vaid viis aastat, siis selle tulemusena oleks meie säästude summa kasvanud 6,7 korda:
5 aastat → 6,7 korda
Ehk siis viienda aasta lõpuks oleks meil kontol järgmine summa:
See tähendab, et viienda säästuaasta lõpuks oleks hoiuintresse arvesse võttes saanud juba üle kahekümne miljoni rubla. Seega väheneks kogu pangaintressidelt kogumiskonto ligi seitsmelt aastalt viiele ehk ligi kahe aasta võrra.
Seega, isegi vaatamata sellele, et pank küsib meie hoiustelt üsna madalat intressi (15%), annavad need samad 15% viie aasta pärast tõusu, mis ületab oluliselt meie aastakasumit. Samas ilmneb põhiline kordaja mõju viimastel aastatel ja isegi pigem viimasel säästuaastal.
Miks ma seda kõike kirjutasin? Muidugi mitte selleks, et agiteerida teid raha panka tassima. Sest kui sa tõesti tahad oma sääste suurendada, siis pead need investeerima mitte panka, vaid päris ärisse, kus need samad protsendid ehk kasumlikkus Venemaa majanduse tingimustes langevad harva alla 30% ehk kaks korda. sama palju pangahoiuseid.
Kuid kogu selle arutluse juures on tõesti kasulik valem, mis võimaldab meil leida hoiuse lõppsumma iga-aastaste maksete summa ja ka panga poolt võetavate intresside kaudu. Nii et kirjutame:
\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\tekst(%))^(n))-1)(\tekst(%)-1)\]
Iseenesest arvutatakse % järgmise valemi abil:
Samuti tuleb teada seda valemit, samuti sissemakse suuruse põhivalemit. Ja omakorda võib põhivalem oluliselt vähendada arvutusi nendes protsentuaalsete probleemide puhul, kus on vaja sissemakse arvutada.
Miks kasutada tabelite asemel valemeid?
Tõenäoliselt tekib paljudel küsimus, miks kõik need raskused üldse, kas on võimalik iga aasta lihtsalt tahvelarvutisse kirjutada, nagu paljudes õpikutes tehakse, arvutada iga aasta eraldi ja siis arvutada välja panuse kogusumma? Muidugi võite üldiselt unustada geomeetrilise progressiooni summa ja lugeda kõike klassikaliste tahvelarvutite abil – seda tehakse enamikus kogudes eksamiks valmistumiseks. Kuid esiteks suureneb järsult arvutuste maht ja teiseks selle tulemusena suureneb ka vea tegemise tõenäosus.
Üldiselt on laudade kasutamine selle imelise valemi asemel sama, mis ehitusplatsil kätega kraavide kaevamine selle asemel, et kasutada läheduses seisvat ja täielikult töötavat ekskavaatorit.
Noh, või sama asi, kui korrutada viis kümnega mitte korrutustabelit kasutades, vaid kümme korda järjest viis endale liita. Kuid olen juba kõrvale kaldunud, seega kordan veel kord kõige olulisemat mõtet: kui on võimalik arvutusi kuidagi lihtsustada ja lühendada, siis seda tuleb kasutada.
Laenu intressid
Arvutasime välja hoiused, seega liigume edasi järgmise teema juurde, nimelt laenuintresside juurde.
Nii et raha säästmise, eelarve hoolikalt planeerimise, tulevase korteri peale mõeldes otsustas oma klassivend ja nüüd lihtne töötu elada tänase päeva eest ja võtsid lihtsalt laenu. Samas ta ikka kiusab ja naerab su üle, öeldakse, et tal on krediittelefon ja kasutatud auto, laenuks võetud ja sina sõidad ikka metroos ja kasutad vana nupuvajutusega telefoni. Muidugi peab teie endine klassivend kõigi nende odavate "eputamise" eest kallilt maksma. Kui kallis - seda me praegu arvutame.
Esiteks lühike tutvustus. Oletame, et teie endine klassivend võttis laenuks kaks miljonit rubla. Samas peab ta lepingu järgi maksma x rubla kuus. Ütleme nii, et ta võttis laenu intressimääraga 20% aastas, mis praegustes tingimustes näeb päris korralik välja. Samuti eelda, et laenu tähtaeg on vaid kolm kuud. Proovime kõik need suurused ühte valemisse ühendada.
Nii et kohe alguses, niipea kui teie endine klassivend pangast lahkus, on tal taskus kaks miljonit ja see on tema võlg. Samal ajal pole möödunud aastat ega kuu, kuid see on alles algus:
Seejärel koguneb võlgnetavalt summalt ühe kuu pärast intress. Nagu me juba teame, piisab intressi arvutamiseks algse võla korrutamisest koefitsiendiga, mis arvutatakse järgmise valemi abil:
Meie puhul räägime intressimäärast 20% aastas, st võime kirjutada:
See on aastas tasumisele kuuluva summa suhe. Meie klassivend pole aga kuigi tark ja ta ei lugenud lepingut ja tegelikult anti talle laenu mitte 20% aastas, vaid 20% kuus. Ja esimese kuu lõpuks koguneb sellelt summalt intress ja see suureneb 1,2 korda. Kohe pärast seda peab isik tasuma kokkulepitud summa, st x rubla kuus:
\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]
Ja jälle teeb meie poiss makse summas $x$ rubla.
Seejärel, kolmanda kuu lõpuks, suureneb tema võlasumma taas 20% võrra:
\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2- x\]
Ja kolme kuu tingimuse järgi peab ta tasuma täies mahus ehk peale viimase kolmandiku makse tegemist peaks tema võlasumma olema võrdne nulliga. Saame kirjutada selle võrrandi:
\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2 - x=0\]
Otsustame:
\[\begin(joona)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cpunkt 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cpunkt ((1,2)^(2))+\cpunkt 1,2+ \\& 2m\cpunkt ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \paremale) \\\end(joonda)\]
Meie ees on taas geomeetriline progressioon või õigemini geomeetrilise progressiooni kolme elemendi summa. Kirjutame selle ümber elementide kasvavas järjekorras:
Nüüd peame leidma geomeetrilise progressiooni kolme elemendi summa. Kirjutame:
\[\begin(joona)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(joonda)\]
Nüüd leiame geomeetrilise progressiooni summa:
\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]
Tuleb meeles pidada, et selliste parameetritega geomeetrilise progressiooni summa $\left(((b)_(1));q \right)$ arvutatakse järgmise valemiga:
\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]
See on valem, mida me just kasutasime. Asendage see valem meie väljendiga:
Edasiste arvutuste jaoks peame välja selgitama, millega $((1,2)^(3))$ võrdub. Kahjuks ei saa me sellisel juhul enam kahekordse ruudu kujul maalida nagu eelmisel korral, vaid saame arvutada nii:
\[\begin(joona)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cpunkt 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(joonda)\]
Kirjutame oma väljendi ümber:
See on klassikaline lineaarne avaldis. Läheme tagasi järgmise valemi juurde:
Tegelikult, kui seda üldistada, saame valemi, mis ühendab intressid, laenud, maksed ja tingimused. Valem näeb välja selline:
Siin see on, tänase videotunni kõige olulisem valem, mille abil võetakse arvesse vähemalt 80% kõigist teise osa matemaatika ühtse riigieksami majandusülesannetest.
Kõige sagedamini küsitakse reaalsete ülesannete puhul makset või veidi harvemini laenu, see tähendab võla kogusummat, mis meie klassikaaslasel oli maksete alguses. Keerulisemate ülesannete puhul palutakse leida protsent, kuid väga keerukate puhul, mida analüüsime eraldi videotunnis, palutakse leida ajaraam, mille jooksul antud laenu- ja makseparameetritega meie töötu klassivend suudab pangale täies mahus ära maksta.
Võib-olla arvab keegi nüüd, et ma olen laenude, rahanduse ja üldse pangandussüsteemi äge vastane. Nii et ei midagi sellist! Vastupidi, ma usun, et krediidiinstrumendid on meie majandusele väga kasulikud ja hädavajalikud, kuid ainult tingimusel, et laenu võetakse ettevõtluse arendamiseks. Äärmuslikul juhul võib laenu võtta kodu ostmiseks ehk siis hüpoteeklaenuks või erakorraliseks arstiabiks – see selleks, muid põhjuseid laenu võtmiseks lihtsalt pole. Ja kõikvõimalikud töötud, kes võtavad laenu "eputamise" ostmiseks ja samas ei mõtle üldse tagajärgedele lõpuks ning muutuvad meie majanduse kriiside ja probleemide põhjustajaks.
Tulles tagasi tänase tunni teema juurde, märgin, et on vaja teada ka seda laenu, maksete ja intresside ning geomeetrilise progressiooni summa ühendavat valemit. Just nende valemite abil lahendatakse matemaatika ühtse riigieksami tegelikud majandusprobleemid. Noh, nüüd, kui teate seda kõike väga hästi, kui saate aru, mis on laen ja miks te ei peaks seda võtma, jätkame matemaatika ühtse riigieksami tegelike majandusprobleemide lahendamisega.
Matemaatika eksamilt lahendame reaalseid ülesandeid
Näide nr 1
Nii et esimene ülesanne on:
31. detsembril 2014 võttis Aleksei pangast laenu 9 282 000 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%), seejärel kannab Aleksei panka X rubla. Kui suur peaks olema summa X, et Aleksei saaks võla tasuda nelja võrdse maksena (st nelja aasta jooksul)?
Niisiis, see on laenuprobleem, nii et paneme kohe kirja oma valemi:
Laen on meile teada - 9 282 000 rubla.
Nüüd tegeleme protsentidega. Me räägime 10% probleemist. Seetõttu saame need tõlkida:
Saame teha võrrandi:
Oleme saanud tavalise lineaarvõrrandi $x$ suhtes, kuigi üsna suurte koefitsientidega. Proovime seda lahendada. Esiteks leiame avaldise $((1,1)^(4))$:
$\begin(joona)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(joonda)$
Nüüd kirjutame võrrandi ümber:
\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(1 =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(joon)\]\[\]
See on kõik, meie probleem protsentidega on lahendatud.
Muidugi oli see kõige lihtsam ülesanne matemaatika ühtse riigieksami protsentidega. Päris eksamil sellist ülesannet suure tõenäosusega ei ole. Ja kui see juhtub, siis pidage end väga õnnelikuks. Noh, neile, kellele meeldib lugeda ja kellele ei meeldi riskida, liigume edasi järgmiste raskemate ülesannete juurde.
Näide nr 2
31. detsembril 2014 laenas Stepan pangast 4 004 000 rubla 20% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (s.t. suurendab võlga 20%), seejärel teeb Stepan pangale makse. Stepan tasus kogu võla 3 võrdse maksega. Mitu rubla annaks ta pangale vähem, kui saaks 2 võrdse maksega võla ära maksta.
Meie ees on probleem laenudega, seega paneme kirja oma valemi:
\[\]\
Mida me teame? Esiteks teame krediidi kogusummat. Teame ka protsente. Leiame suhte:
Mis puudutab $n$, siis peate hoolikalt läbi lugema probleemi olukorra. See tähendab, et kõigepealt peame arvutama, kui palju ta maksis kolme aasta eest, st $ n = 3 $, ja seejärel tegema uuesti samad toimingud, kuid arvutama maksed kahe aasta eest. Kirjutame võrrandi juhuks, kui makset makstakse kolme aasta eest:
Lahendame selle võrrandi. Kuid kõigepealt leiame avaldise $((1,2)^(3))$:
\[\begin(joona)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(joonda)\]
Kirjutame oma väljendi ümber:
\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1) (0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(joonda)\]
Kokku on meie makse 1900800 rubla. Kuid pöörake tähelepanu: ülesandes pidime leidma mitte kuumakse, vaid selle, kui palju Stepan kokku maksab kolme võrdse makse eest, see tähendab kogu laenu kasutamise perioodi eest. Seetõttu tuleb saadud väärtus uuesti korrutada kolmega. Loeme:
Kokku maksab Stepan kolme võrdse makse eest 5 702 400 rubla. Nii palju läheb tal kolmeks aastaks laenu kasutamine maksma.
Mõelge nüüd teisele olukorrale, kus Stepan võttis end kokku, valmistus ja maksis kogu laenu mitte kolme, vaid kahe võrdse maksega. Kirjutame üles sama valemi:
\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(joonda)\]
Kuid see pole veel kõik, sest nüüd oleme kahest maksest välja arvutanud ainult ühe, nii et kokku maksab Stepan täpselt kaks korda rohkem:
Suurepärane, nüüd oleme lõplikule vastusele lähedal. Kuid pöörake tähelepanu: me pole mingil juhul veel lõplikku vastust saanud, sest kolme aasta maksete eest maksab Stepan 5 702 400 rubla ja kahe aasta maksete eest 5 241 600 rubla, see tähendab veidi vähem. Kui palju vähem? Selle väljaselgitamiseks peate esimese makse summast lahutama teise makse summa:
Lõplik vastus kokku on 460 800 rubla. Kui palju Stepan täpselt säästab, kui ta ei maksa kolm, vaid kaks aastat.
Nagu näha, lihtsustab intresse, tingimusi ja makseid siduv valem võrreldes klassikaliste tabelitega tunduvalt arvutusi ja kahjuks kasutatakse teadmata põhjustel enamikes probleemkogudes siiski tabeleid.
Eraldi juhin tähelepanu tähtajale, milleks laenu võeti, ja kuumaksete suurusele. Fakt on see, et see seos ei ole meie üleskirjutatud valemitest otseselt nähtav, kuid selle mõistmine on vajalik eksamil esinevate tegelike probleemide kiireks ja tõhusaks lahendamiseks. Tegelikult on see suhe väga lihtne: mida pikemaks ajaks laenu võetakse, seda väiksem on igakuiste maksete summa, kuid seda suurem summa koguneb kogu laenu kasutamise perioodi peale. Ja vastupidi: mida lühem on tähtaeg, seda suurem on kuumakse, kuid väiksem on lõplik enammakse ja laenu kogumaksumus.
Loomulikult on kõik need väited võrdsed ainult tingimusel, et laenusumma ja intressimäär on mõlemal juhul samad. Üldiselt pidage praegu meeles seda fakti - seda kasutatakse selle teema kõige keerulisemate probleemide lahendamiseks, kuid praegu analüüsime lihtsamat probleemi, kus peate lihtsalt leidma algse laenu kogusumma.
Näide nr 3
Niisiis, üks laenuülesanne veel ja üheskoos viimane ülesanne tänases videoõpetuses.
31. detsembril 2014 võttis Vassili pangast krediidina välja teatud summa 13% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (see tähendab, et see suurendab võlga 13%), seejärel kannab Vassili panka 5 107 600 rubla. Millise summa Vassili pangast laenas, kui maksis võla tagasi kahes võrdses osas (kahe aasta jooksul)?
Nii et esiteks on see probleem jällegi laenudega seotud, seega paneme kirja oma imelise valemi:
Vaatame, mida me probleemi olukorrast teame. Esiteks, makse - see on 5 107 600 rubla aastas. Teiseks protsendid, et leiame suhte:
Lisaks võttis Vassili vastavalt probleemi seisukorrale pangast kaheks aastaks laenu, s.o. makstakse kahes võrdses osas, seega $n=2$. Asendame kõik ära ja paneme ka tähele, et laen on meile tundmatu, st. summa, mille ta võttis, ja tähistame seda kui $x$. Saame:
\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]
Kirjutame oma võrrandi seda fakti silmas pidades ümber:
\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(joonda)\]
See on kõik, see on lõplik vastus. Just selle summa võttis Vassili kohe alguses laenu.
Nüüd on selge, miks antud probleemi puhul palutakse meil laenu võtta vaid kaheks aastaks, sest siin ilmnevad kahekohalised protsendid, nimelt 13%, mis ruudus annab juba üsna “julma” numbri. Kuid see pole piir - järgmises eraldi õppetunnis käsitleme keerukamaid ülesandeid, kus on vaja leida laenutähtaeg ja intressimäär on üks, kaks või kolm protsenti.
Üldiselt õppige lahendama hoiuste ja laenudega seotud probleeme, valmistuge eksamiteks ja sooritage need "suurepäraselt". Ja kui midagi pole tänase videotunni materjalides selge, siis ärge kõhelge - kirjutage, helistage ja ma proovin teid aidata.
