Ülesande 17 eksamiprofiil kuidas lahendada. KASUTAMINE matemaatikas (profiil)

15. aprillil on plaanis võtta pangast 11 kuuks laenu summas 900 tuhat rubla.
Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg p% võrreldes eelmise kuu lõpuga;

- iga 1. kuni 10. kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus;
- 10. kuu 15. kuupäeval oli võlgnevus 200 tuhat rubla;
- 11. kuu 15. kuupäevaks tuleb võlg täielikult tasuda.
Leidke p, kui pangale makstud kogusumma oli 1021 tuhat rubla.

15. aprillil on plaanis võtta pangalaenu 700 tuhat rubla (n + 1) kuuks.
Selle tagastamise tingimused on järgmised:

- iga kuu 2.-14. kuupäevani on vaja tasuda osa võlast ühe maksega;
- Iga 1.-n-nda kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus;
- n-nda kuu 15. kuupäeval oli võlgnevus 300 tuhat rubla;
- (n + 1) kuu 15. kuupäevaks tuleb võlg täielikult tasuda.
Leidke n, kui pangale makstud kogusumma oli 755 tuhat rubla.

15. augustil on kavas võtta pangast laenu summas 1100 tuhat rubla 31 kuuks.
Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 2% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani on vaja tasuda osa võlast ühe maksega;
- iga 1. kuni 30. kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus;
- 31. kuu 15. kuupäevaks tuleb võlg täielikult tasuda.
Mitu tuhat rubla on võlgnevus 30. kuu 15. kuupäeval, kui pangale makstud kogusumma on 1503 tuhat rubla?

15. märtsil on plaanis võtta pangast laenu kindla summa eest 11 kuuks.
Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 1% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani on vaja tasuda osa võlast ühe maksega;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuupäevast kuni 10. kuupäevani peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus;
- 10. kuu 15. kuupäeval on võlgnevus 300 tuhat rubla;

Kui suur summa on plaanis laenata, kui maksete kogusumma pärast selle täielikku tagasimaksmist on 1388 tuhat rubla?

15. detsembril on plaanis võtta pangast laen 11 kuuks.
Selle tagastamise tingimused on järgmised:


- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuni 10. kuupäevani peab võlgnevus olema 80 tuhat rubla väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlg;
- 11. kuu 15. kuupäevaks peab laen olema täielikult tasutud.
Milline võlg on 10. kuu 15. kuupäeval, kui maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist on 1198 tuhat rubla?

15. detsembril on plaanis võtta 21 kuuks pangalaenu summas 300 tuhat rubla. Tagastamistingimused on järgmised:

- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuni 20. kuupäevani peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeval võlgnevus;
- 20. kuu 15. kuupäeval on võlg 100 tuhat rubla;

Leia maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist.

15. detsembril on plaanis võtta (n+1) kuuks pangalaenu 1 000 000 rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus eelmise kuu lõpuga võrreldes r%;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuupäevast kuni n-ni peab võlgnevus olema 40 tuhat rubla väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus;
- n-nda kuu 15. kuupäeval on võlg 200 tuhat rubla;
- (n + 1) kuu 15. kuupäevaks peab laen olema täielikult tasutud.
Leidke r, kui on teada, et maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist on 1378 tuhat rubla.

15. detsembril on plaanis võtta pangast laen 21 kuuks. Tagastamistingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 3% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval alates 1. kuni 20. kuupäevani peab võlgnevus olema 30 tuhat rubla väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlg;
- 21. kuu 15. kuupäevaks peab laen olema täielikult tasutud.
Kui suur summa on plaanis laenata, kui maksete kogusumma pärast selle täielikku tagasimaksmist on 1604 tuhat rubla?

25. mail on plaanis võtta pangast laen 1,5 aastaks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 7% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 1.-10. kuupäevani on vaja tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 25. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 25. kuupäeva võlgnevus.
Kui suur summa tuleks pangale maksta, kui kogu laenuperioodi keskmine kuumakse on 18 500 rubla?

Mööblivabrik toodab raamatukappe ja puhvetkappe. Ühe raamatukapi jaoks on vaja 4/3 m^2 puitlaastplaati, 4/3 m^2 männiplaati ja 2/3 töötundi. Ühe puhvetkapi valmistamiseks kulub 2 m^2 puitlaastplaati, 1,5 m^2 männilauda ja 2 inimtundi tööaega. Kasum ühe raamatukapi müügist on 500 rubla ja puhvetkapi müügist 1200 rubla. Ühe kuu jooksul on tehase käsutuses: 180 m^2 puitlaastplaati, 165 m^2 männilauda ja 160 töötundi. Kui suur on maksimaalne igakuine oodatav kasum?

Mõned ettevõtted toodavad kahte tüüpi tooteid - A ja B, kasutades kolme tüüpi ressursse: M, N ja K. Ressursikasutuse määrad ja nende varud on toodud tabelis.

Toodete müümisel on vaja kindlaks määrata ettevõtte maksimaalne võimalik tulu, kui toodete A ja B hinnad on vastavalt 1500 ja 900 rubla vastava toote ühiku kohta. Esitage oma vastus tuhandetes rublades.

Kolme üheteistkümnenda klassi poisid ostsid tüdrukutele 8. märtsil pidupäevaks lilli. Kui igale esimese klassi tüdrukule antakse 3 lilli, igale teise klassi tüdrukule 5 lille ja igale kolmanda klassi tüdrukule 7 lille, siis on vaja vähemalt 40 ja maksimaalselt 50 lilli.

Kui igale tüdrukule esimeses klassis antakse 5 lille, igale teise klassi tüdrukule 7 lille ja igale kolmanda klassi tüdrukule 3 lille, siis kulub sama palju lilli, kui on vaja igale kinkimiseks. esimese klassi tüdrukule 7 lille, kinkima igale teise klassi tüdrukule 3 lille ja igale kolmanda klassi tüdrukule 5 lille. Leia tüdrukute koguarv 11. klassis, kui on teada, et kolmandas klassis on rohkem tüdrukuid kui teises.

Tagatisraha suurus suurenes iga kuu esimesel päeval 2% võrreldes eelmise kuu esimese päeva summaga. Samamoodi on tellise hind igakuiselt tõusnud 36%. Tellisteostu edasi lükates laekus 1. mail teatud summa panka. Mitu protsenti vähem saab sellisel juhul osta sama aasta 1. juulil telliskivi kogu pangast saadud summa eest koos intressidega?

Uueks aastaks valmistudes otsustati osta mitu kahte tüüpi kuuseehteid eeldusel, et erinevat tüüpi kaunistuste maksumus ei tohiks erineda rohkem kui 2 rubla võrra. Kui ostate 7 esimest tüüpi ja 8 teist tüüpi kaunistusi, peate maksma rohkem kui 165 rubla. Kui ostate 8 esimest tüüpi ja 7 teist tüüpi kaunistusi, peate maksma vähem kui 165 rubla. Leidke iga kaunistuse tüübi maksumus.

Kahe üheteistkümnenda klassi poisid ostsid tüdrukutele 8. märtsil pidupäevaks lilli. Kui igale esimese klassi tüdrukule antakse 3 lilli ja igale teise klassi tüdrukule 7 lille, siis läheb vaja vähem kui 70 lille. Kui igale esimese klassi tüdrukule antakse 7 lilli ja igale teise klassi tüdrukule 3 lille, siis läheb vaja rohkem kui 70 lille. Leia tüdrukute arv 11. klassis, kui tüdrukute arv klassides erineb vähem kui kolme võrra.

Tehases on kolme tüüpi koosteliine: A, B, C. Igal neist toodetakse kahte tüüpi tooteid. Iga liini toodetud igat tüüpi toodete arv on esitatud tabelis.

Lepingu kohaselt peaks tootma 1030 esimest tüüpi toodet ja 181 teist tüüpi toodet. Mis on väikseim arv koosteliine, mida saab kasutada?

Linnade A ja B vahel lendavad kolme tüüpi lennukid, mille reisijate ja kaubakonteinerite veo võimalused on toodud tabelis

Lepingu tingimuste kohaselt kavatsetakse vedada 1790 reisijat ja 195 kaubakonteinerit. Leidke kõige vähem vajalikke õhusõidukeid.

Maaki kaevandatakse kahes kaevanduses: esimeses kaevanduses 100 tonni ööpäevas, teises kaevanduses 220 tonni ööpäevas. Kaevandatud maaki töödeldakse kahes tehases. Esimene on võimeline töötlema mitte rohkem kui 200 tonni maaki päevas ja teine ​​- mitte rohkem kui 250 tonni maaki päevas. Ühe tonni maagi kaevandusest tehasesse transportimise maksumus on toodud tabelis.

Leidke madalaim saatmiskulu.

Hoiustaja otsustas paigutada 1 aastaks panka 1000 tuhat rubla. Pank pakub kahte strateegiat: esimene on koguda 7% aastas, kui hoius on tervikuna paigutatud. Või tehakse ettepanek jagada panus kolmeks osaks. Siis võetakse väiksemalt osalt 15%, keskmiselt 10% ja suuremalt 5% aastas. Kui suur on maksimaalne kasum, mida investor võib saada, kui suurem osa peab erinema väiksemast vähemalt 100 000 rubla, kuid mitte rohkem kui 300 000 rubla võrra?

Laenuvõtja võttis pangast 3 aastaks 691 000 rubla suuruse summa, 10% aastas, tingimusel, et teine ​​makse on kaks korda suurem ja kolmas kolm korda suurem ning maksed tehakse pärast laenude kogunemist. intressi laenujäägilt. Kui suur oli esimese makse summa?

16. novembril laenas Nikita pangast 1 miljon rubla. kuus kuud. Laenu tagasimakse tingimused on järgmised:

Iga kuu 28. kuupäeval suureneb võlg 10% võrreldes jooksva kuu 16. kuupäevaga;

Iga kuu 1.-10. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Maksete hilinemise korral (1 kuni 5 päeva) lisanduvad viivised: iga viivitatud päeva eest 1% jooksval kuul tasumisele kuuluvast summast;

Iga kuu 16. kuupäeval peab võlgnevus olema teatud summas vastavalt tabelile:

Tehke kindlaks, mitu tuhat rubla Nikita maksab pangale üle võetud laenu, kui on teada, et ta tegi maksed 7. detsembril, 12. jaanuaril, 10. veebruaril, 9. märtsil, 1. aprillil ja 15. mail.

Larin 17) Ivan Petrovitš sai pangast laenu teatud protsendiga aastas. Aasta hiljem tagastas ta laenu tagasimaksmisel pangale 1/6 kogusummast, mille ta selleks ajaks pangale võlgneb. Ja aasta hiljem maksis Ivan Petrovitš laenu täieliku tagasimaksmise tõttu panka summa, mis oli 20% suurem kui saadud laenusumma. Kui suur on selle panga laenu aastaprotsent?

Kahes karbis on pliiatsid: esimene on punane, teine ​​sinine, pealegi oli punaseid vähem kui siniseid. Esiteks viidi 40% esimesest karbist pärit pliiatsitest teise. Seejärel viidi 20% teise kasti sattunud pliiatsitest esimesse ja pooled ülekantud pliiatsid olid sinised. Pärast seda oli esimeses kastis 26 punast pliiatsit rohkem kui teises ning teises kastis kasvas pliiatsite koguarv algse omaga võrreldes enam kui 5%. Leidke siniste pliiatsite koguarv.

Juulis plaanib Viktor võtta 2,5 miljonit rubla laenu. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta jaanuaris suureneb võlg 20% ​​võrreldes eelmise aasta kondoomiga;

Iga aasta veebruarist juunini peab Victor osa võlast ära tasuma.

Kui palju aastaid saab Victor laenu võtta minimaalselt, et aastamaksed ei ületaks 760 tuhat rubla?

Kui mitme aasta pärast on Sergeil kontol vähemalt 950 000 rubla, kui ta kavatseb igal aastal kontole 260 000 rubla sisse kanda, eeldusel, et kord aastas 31. detsembril koguneb pank 10% olemasolevast summast.

Mitrofan soovib laenata 1,7 miljonit rubla. Laen makstakse tagasi kord aastas võrdsetes summades (välja arvatud võib-olla viimane) pärast intressi arvestamist. Intressimäär on 10% aastas. Kui palju aastaid saab Mitrofan laenu võtta minimaalselt, et aastamaksed ei ületaks 300 tuhat rubla?

31. detsembril 2016 laenas Vassili pangast 5 460 000 rubla 20% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine - iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (st see suurendab võlga 20%), seejärel kannab Vassili panka x rubla. Kui suur peaks olema Vassili võla tasumiseks kolme võrdse maksena (st kolme aasta jooksul)?

Augustis on plaanis teatud summa ulatuses pangast laenu võtta. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta veebruarist juulini on vaja tasuda osa võlast, mis võrdub 1080 tuhande rublaga. Mitu tuhat rubla võeti pangast, kui on teada, et laen maksti täielikult tagasi kolme võrdse maksega (st 3 aastaks)?

Pensionifondile kuulub aasta t lõpu seisuga väärtpabereid [b]10t tuhat rubla (t = 1;2;3;...). Iga aasta lõpus saab pensionifond müüa väärtpabereid ja hoiustada raha pangakontole, kusjuures iga järgmise aasta lõpus suureneb kontol olev summa 1+r korda. Pensionifond tahab väärtpabereid müüa sellise aasta lõpus, et kahekümne viienda aasta lõpus oleks tema kontol olev summa suurim. Arvutused on näidanud, et selleks tuleb väärtpaberid müüa rangelt üheteistkümnenda aasta lõpus. Milliste r-i positiivsete väärtuste korral on see võimalik?

Vadim on kahe tehase omanik erinevates linnades. Tehased toodavad täpselt samu kaupu, kasutades samu tehnoloogiaid. Kui ühes tehases töötavad töötajad nädalas kokku t^2 tundi, siis toodavad nad sel nädalal t ühikut kaupa. Iga töötunni eest esimeses linnas asuvas tehases maksab Vadim töötajale 500 rubla ja teises linnas asuvas tehases 300 rubla. Vadim on valmis eraldama töötajatele palga maksmiseks 1 200 000 rubla nädalas. Kui suur on maksimaalne kaubaühikute arv, mida nädalas nendes kahes tehases toota saab?

2016. aasta juulis plaanib Inga võtta laenu kuueks aastaks summas 4,2 miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Juulis 2017, 2018, 2019 ja 2020 on võlg 4,2 miljonit rubla;

2021. ja 2022. aasta maksed on võrdsed;

2022. aasta juuliks on võlg täielikult tasutud.

Mitu miljonit rubla on viimane makse suurem kui esimene?

2016. aasta juulis plaanib Timur võtta neljaks aastaks pangalaenu summas S miljonit rubla, kus S on täisarv. Tagastamistingimused on järgmised:

Iga aasta jaanuaris suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 15%;

Makse tuleb tasuda kord aastas veebruarist juunini;

Iga aasta juulis peab võlg olema osa laenust vastavalt järgmisele tabelile:

Leidke S suurim väärtus, mille puhul Timuri maksete kogusumma jääb alla 30 miljoni rubla.

2020. aasta juulis on plaanis võtta pangast laenu summas 400 000 rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Igal jaanuaril suureneb võlg eelmise aasta lõpuga võrreldes r%;

Leidke arv r, kui on teada, et laen maksti täielikult tagasi kahe aasta jooksul ja esimesel aastal kanti üle 330 000 rubla ja teisel aastal 121 000 rubla.

2020. aasta juulis on plaanis teatud summa ulatuses pangast laenu võtta. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta jaanuaris suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 20%;

Iga aasta veebruarist juunini on vaja osa võlast tasuda ühe maksega

Kui palju rubla pangast võeti, kui on teada, et laen maksti täielikult tagasi kolme võrdse maksega (st 3 aastaks) ja maksete summa ületab pangast võetud summat 77 200 rubla võrra?

Juulis on plaanis teatud summa ulatuses pangast laenu võtta. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Igal jaanuaril suureneb võlg eelmise aasta lõpuga võrreldes r%;

Iga aasta veebruarist juunini tuleb osa võlast tasuda

Otsige r kui on teada, et kui maksate igaüks 777 600 rubla, siis makstakse laen tagasi 4 aastaga ja kui maksate igal aastal 1 317 600 rubla, siis makstakse laen täielikult tagasi 2 aastaga?

Juulis on plaanis teatud perioodiks (aastate täisarv) võtta pangalaenu summas 18 miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- igal jaanuaril suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 10%;


Kui mitmeks aastaks laenu võeti, kui on teada, et maksete kogusumma pärast selle tagasimaksmist oli 27 miljonit rubla?

Juulis on plaanis teatud perioodiks (aastate täisarv) võtta pangalaenu summas 9 miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta jaanuaris suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 20%;
- iga aasta veebruarist juunini tuleb tasuda osa võlast;
- iga aasta juulis peab võlg olema sama palju väiksem kui eelmise aasta juuli võlg.

Kui suur on maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist, kui suurim aastamakse on 3,6 miljonit rubla?

2026. aasta juulis on plaanis võtta pangast laenu kolmeks aastaks summas S miljonit rubla, kus S on täisarv. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Igal jaanuaril kasvab võlg eelmise aasta lõpuga võrreldes 20%.

Iga aasta veebruarist juunini tuleb osa võlast tasuda ühe maksega

Iga aasta juulis peab võlgnevus olema osa laenust vastavalt järgmisele tabelile

Leidke S suurim väärtus, mille puhul iga makse on väiksem kui 5 miljonit rubla.

Pensionifondile kuulub väärtpabereid t^2 rubla väärtuses. iga aasta lõpus t(t=1;2...) iga aasta lõpus saab pensionifond müüa väärtpabereid ja hoiustada raha pangakontole, samas kui iga järgmise aasta lõpus on pensionifondil raha väärtpabereid müüa. konto suureneb (1+ r) üks kord. Pensionifond soovib müüa väärtpabereid aasta lõpus nii, et kahekümne viienda aasta lõpus oleks tema kontol olev summa suurim.Arvutused näitasid, et selleks tuleb väärtpaberid müüa rangelt kahekümne aasta lõpus. - esimene aasta. Millise positiivse r puhul on see võimalik?

Loomaaed jagab laiali 111 kg. liha rebaste, leopardide ja lõvide vahel. Igal rebasel on õigus saada 2 kg. liha, leopard - 14 kg., Lõvi 21 kg. On teada, et igal lõvil on päevas 230 külastajat, igal leopardil 160, igal rebasel 20. Mitu rebast, leoparde ja lõvi peaks loomaaias olema, et nende loomade külastatavus oleks päeva jooksul suurim?

Aktsionäride koosolekul otsustati suurendada ettevõtte kasumit tootevaliku laiendamise kaudu. Majandusanalüüs näitas seda

1) iga uue tooteliigi lisatulu on 70 miljonit rubla. aastal;

2) lisakulud ühe uue tüübi väljatöötamiseks on 11 miljonit rubla. aastas ja iga järgneva tüübi arendamiseks kulub 7 miljonit rubla. aastas rohkem kulutusi kui eelmise arendus. Leia maksimaalse võimaliku kasumi kasvu väärtus.

Kodanik pani 4 aastaks panka 1 miljon rubla. Iga aasta lõpus võetakse alussummalt 10%. Ta otsustas iga esimese 3 aasta lõpus (pärast intressi) välja võtta sama summa raha. See summa peaks olema selline, et 4 aasta pärast pärast 4. aasta intresside kogumist oleks tema kontol vähemalt 1200 tuhat rubla. Kui suur on maksimaalne summa, mida kodanik saab välja võtta? Ümarda oma vastus alla lähima tuhandeni.

Sasha ja Pasha panid kumbki 100 tuhat rubla. pangale 10% aastas kolme aasta jooksul. Samal ajal võttis Pasha aasta hiljem välja n tuhat rubla. (n on täisarv) ja aasta hiljem teatas ta uuesti n tuhat rubla. teie kontole. Kolme aasta väikseima n väärtuse puhul on Sasha ja Pasha kontol olevate summade vahe vähemalt 3 tuhat rubla.

Plaanis on väljastada laen täisarv miljoni rubla eest 5 aastaks. Iga laenuaasta keskel suureneb laenuvõtja võlgnevus aasta algusega võrreldes 10%. 1., 2. ja 3. aasta lõpus maksab laenuvõtja ainult laenu intressi, jättes võla võrdseks esialgsega. 4. ja 5. aasta lõpus maksab laenuvõtja sama palju, tasudes kogu võla täies ulatuses. Leidke suurim laenusumma, mille puhul laenuvõtja maksete kogusumma on alla 6 miljoni rubla.

Taluniku käsutuses on kaks põldu, kummagi pindala on 10 hektarit. Kartulit ja peeti võib kasvatada igal põllul ning põlde võib nende kultuuride vahel jagada suvalises vahekorras. Kartulisaak esimesel põllul on 300 c/ha, teisel aga 200 c/ha. Peedisaak esimesel põllul on 200 c/ha ja teisel - 300 c/ha.

Talunik võib müüa kartulit hinnaga 10 000 rubla. protsenti ja peet - hinnaga 18 000 rubla. protsenti senti. Kui suur on maksimaalne sissetulek, mida põllumees saab teenida?

Vana-aasta eel panid jõuluvanad kingikottidesse võrdses koguses maiustusi ja need kotid pandi kottidesse, 2 kotti ühte kotti. Nad võiksid paigutada samad maiustused kottidesse nii, et igaühes oleks 5 kommi vähem kui varem, kuid siis oleks igas kotis 3 kotti ja vaja oleks 2 kotti vähem. Kui suur on suurim arv maiustusi, mida jõuluvana võiks välja panna?

Esimene auto sõitis punktist A punkti B kiirusega 80 km/h ja mõne aja pärast püsikiirusel - teine. Pärast 20-minutilist peatumist punktis B sõitis teine ​​auto sama kiirusega tagasi. 48 km järel kohtas ta esimest vastutulevat autot ja oli hetkel, mil esimene auto punkti B saabus, B-st 120 km kaugusel. Leidke kaugus punktist A esimese kohtumispaigani, kui punktide A ja B vaheline kaugus on 480 km.

Pood sai I ja II klassi kaupa kokku 4,5 miljoni rubla eest. Kui kõik kaubad müüakse teise klassi hinnaga, on kahjum 0,5 miljonit rubla ja kui kõik kaubad müüakse esimese klassi hinnaga, saadakse kasumit 0,3 miljonit rubla. Millise summa eest osteti I ja II klassi kaupa eraldi?

Kaks kaevandust toodavad alumiiniumi ja niklit. Esimeses kaevanduses töötab 80 töölist, kellest igaüks on valmis töötama 5 tundi päevas. Samal ajal toodab üks töötaja 1 kg alumiiniumi või 2 kg niklit tunnis. Teises kaevanduses on 200 töölist, kellest igaüks on valmis töötama 5 tundi päevas. Samal ajal toodab üks töötaja tunnis 2 kg alumiiniumi või 1 kg niklit.

Mõlemad kaevandused tarnivad kaevandatud metalli tehasesse, kus toodetakse tööstuse vajadusteks alumiiniumi ja nikli sulamit, milles 2 kg alumiiniumi moodustab 1 kg niklit. Samal ajal lepivad kaevandused omavahel kokku metallide kaevandamises, et tehas saaks toota suurima koguse sulamit. Mitu kilogrammi sulamit suudab taim sellistes tingimustes päevas toota?

Mõni ettevõte kannab kahjumit kuni 300 miljonit rubla. aastal. Selle kasumlikuks muutmiseks tehti ettepanek tootevalikut suurendada. Arvutused on näidanud, et iga uue tooteliigi lisatulu ulatub 84 miljoni rublani. aastas ja lisakulud on 5 miljonit rubla. aastas ühe uue liigi väljatöötamisega, kuid iga järgmise arendamiseks kulub 5 miljonit rubla. aastas rohkem kulutusi kui eelmise arendus. Kui suur on minimaalne uute toodete tüüpide arv, mida tuleb omandada, et ettevõte muutuks kasumlikuks? Mis on suurim aastakasum, mida ettevõte võib tootevaliku suurendamisega saavutada?

Õpiku elektroonilise versiooni väljatöötamise kulud
mõni väljaanne on 800 tuhat rubla. Kulud
x tuhande sellise elektroonilise õpiku tootmiseks
selles kirjastuses on (x^2+6x+22100) tuhat rubla
aastal. Kui õpikuid müüakse hinnaga Rs. üksuse jaoks,
siis on kirjastuse ühe aasta kasum ax-(x^2+6x+22100).
Kirjastus hakkab välja andma õpikuid sellises koguses,
kasumi maksimeerimiseks. Mis on a väikseim väärtus
Õpiku arendamine tasub end ära mitte rohkem kui 2 aastaga?

16. novembril võtsid kaksikud Sasha ja Pasha pangalaenu 500 tuhat rubla. igaüks neljaks kuuks. Laenu tagasimakse tingimused on järgmised:

Iga kuu 28. kuupäeval suureneb võlg 10% võrreldes jooksva kuu 16. kuupäevaga;

Iga kuu 1.-15. kuupäevani tuleb tasuda osa võlast; Iga kuu 16. kuupäeval peab võlg moodustama teatud summa vastavalt iga kuu kohta pakutud tabelile:

Kes vendadest maksab pangale nelja kuu pärast väiksema summa? Mitu rubla?

1. märtsil 2016 deponeeris Valeri panka 100 tuhat rubla. 10% aastas 4 aasta jooksul. Kahe aasta pärast plaanib ta oma kontolt välja võtta n tuhat rubla. (n on täisarv), nii et 1. märtsiks 2020 on tema kontol vähemalt 130 tuhat rubla. Kui suur on maksimaalne summa n, mille Valeri saab 1. märtsil 2018 oma kontolt välja võtta?

Kaks jalakäijat kõnnivad üksteisele vastu: üks punktist A punkti B ja teine ​​punktist B punkti A. Nad lahkusid samal ajal ja kui esimene kõndis pool teed, oli teisel veel 1,5 tundi ja kui teisel pool teed kõndinud, siis esimene Sinna oli veel 45 minutit. Mitu minutit varem lõpetab esimene jalakäija teekonna kui teine?

2017. aasta jaanuari alguses on plaanis võtta pangast laenu S miljonit rubla, kus S on täisarv, 4 aastaks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Igal juulil suureneb võlg jooksva aasta algusega võrreldes 10%;
- iga aasta augustist detsembrini tuleb tasuda osa võlast;
- iga aasta jaanuaris peab võlg olema osa laenust vastavalt järgmisele tabelile:

Leidke S suurim väärtus, mille puhul suurima ja väikseima makse vahe ei ületa 2 miljonit rubla.

Klassikalise hoiuse puhul on pangal plaanis iga aasta lõpus koguneda 12% aastas ning Boonushoiusel - suurendada hoiuse summat esimesel aastal 7% ja järgnevatel aastatel sama täisarvu n protsendi võrra.

Leidke n väikseim väärtus, mille juures on 4-aastase hoiustamise korral "boonus" sissemakse tulusam kui "klassikaline" sissemakse võrdsete algsete sissemaksetega.

2017. aasta mais on plaanis võtta pangast laenu kuueks aastaks summas S miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta detsembris suureneb võlg 10%;
- iga aasta jaanuarist aprillini tuleb tasuda osa võlast;
- 2018., 2019. ja 2020. aasta mais on võlgnevus S miljonit rubla;
- 2021., 2022. ja 2023. aasta maksed on võrdsed;
- maiks 2023 on võlg tasutud täies ulatuses.

Leidke väikseim täisarv S, mille maksete kogusumma ei ületa 13 miljonit rubla.

Erialale "Seadmed ja masinad" astus esimesele kursusele 46 inimest: 34 poissi ja 12 tüdrukut. Nad on jagatud kahte 22- ja 24-liikmelisse rühma, igas rühmas on vähemalt üks tüdruk. Milline peaks olema jaotus rühmade kaupa, et esimese ja teise rühma tüdrukute protsendiga võrdne arvude summa oleks suurim?

Leo võttis pangalaenu 40 kuuks. Lepingu järgi peab Leo laenu tagasi maksma igakuiste osamaksetena. Iga kuu lõpus lisatakse ülejäänud võlasummale p% sellest summast, millele järgneb Leo makse.

Igakuised maksed on valitud nii, et võlg väheneks ühtlaselt.

Teatavasti oli Leo suurim makse algsest võlasummast 25 korda väiksem. Leia lk.

18. detsembril 2015 laenas Andrey pangast 85 400 rubla 13,5% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 18. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi, seejärel kannab Andrey panka X rubla. Kui suur peaks olema summa X, et Andrey saaks kahe võrdse maksega võla täielikult ära maksta?

Ivan tahab laenata 1 miljon rubla. Laen makstakse tagasi kord aastas võrdsetes summades (välja arvatud võib-olla viimane) pärast intressi arvestamist. Intress 10% aastas. Kui palju aastaid saab Ivan minimaalselt laenu võtta, et aastamaksed ei ületaks 250 tuhat rubla?

1. veebruaril 2016 võttis Andrei Petrovitš pangast laenu 1,6 miljonit rubla. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgneva kuu 1. kuupäeval võtab pank ülejäänud võlasummalt 1%, seejärel kannab Andrei Petrovitš makse panka. Kui mitu kuud peab Andrei Petrovitš laenu võtma, et igakuised maksed ei ületaks 350 tuhat rubla?

12. novembril 2015 laenas Dmitri pangast 1 803 050 rubla 19% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 12. novembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi, seejärel kannab Dmitri panka X rubla. Kui suur peaks olema summa X, et Dmitri saaks võla kolmes võrdses osas täielikult ära maksta?

Kahel vastastikku risti asetseval maanteel nende ristumissuunas hakkab korraga liikuma kaks autot: üks kiirusega 80 km/h, teine ​​60 km/h. Algsel ajahetkel on iga auto ristmikust 100 km kaugusel. Määrake aeg pärast liikumise algust, pärast mida on autode vaheline kaugus väikseim. Mis see vahemaa on?

Arkadi, Semjon, Efim ja Boris asutasid ettevõtte, mille põhikapital oli 200 000 rubla. Arkadi panustas 14% põhikapitalist, Semjon - 42 000 rubla, Efim - 12% põhikapitalist ja Boriss ülejäänud kapitalist. Asutajad nõustusid jagama aastakasumit proportsionaalselt põhikapitali tehtud sissemaksega. Kui suur osa 500 000 rubla suurusest kasumist kuulub Borisile? Esitage oma vastus rublades.

Kahes piirkonnas töötab 250 töötajat, kellest igaüks on valmis töötama 5 tundi päevas alumiiniumi või nikli kaevandamise alal. Esimeses piirkonnas toodab üks töötaja 0,2 kg alumiiniumi või 0,1 kg niklit tunnis. Teises piirkonnas kulub x kg alumiiniumi kaevandamiseks päevas x^2 inimtöötundi ja y kg nikli kaevandamiseks päevas y^2 töötundi.

Kahes piirkonnas töötab kummaski 50 töötajat, kellest igaüks on valmis töötama 10 tundi päevas alumiiniumi või nikli kaevandamise alal. Esimeses piirkonnas toodab üks töötaja 0,2 kg alumiiniumi või 0,1 kg niklit tunnis. Teises piirkonnas kulub x kg alumiiniumi kaevandamiseks päevas x^2 inimtöötundi ja kg nikli kaevandamiseks päevas y^2 töötundi.

Mõlemad piirkonnad tarnivad kaevandatud metalli tehasesse, kus toodetakse tööstuse vajadusteks alumiiniumi ja nikli sulamit, milles 1 kg alumiiniumi moodustab 2 kg niklit. Samas lepivad piirkonnad omavahel kokku metallide kaevandamises, et tehas saaks toota suurima koguse sulamit. Mitu kilogrammi sulamit suudab taim sellistes tingimustes päevas toota?

Timofey soovib laenata 1,1 miljonit rubla. Laen makstakse tagasi kord aastas võrdsetes summades (välja arvatud võib-olla viimane) pärast intressi arvestamist. Intressimäär on 10% aastas. Kui palju aastaid saab Timofey laenu võtta minimaalselt, et aastamaksed ei ületaks 270 tuhat rubla?

Galina võttis 24 kuuks laenu 12 miljonit rubla. Lepingu järgi peab Galina osa rahast iga kuu lõpus panka tagastama. Iga kuu suureneb võlgade kogusumma 3% ja seejärel väheneb summa võrra, mille Galina kuu lõpus pangale maksab. Galina makstavad summad valitakse nii, et võlasumma väheneks ühtlaselt ehk iga kuu sama summa võrra. Mitu rubla saab Galina esimesel laenuaastal teise aastaga võrreldes panka rohkem tagasi?

15. jaanuaril on plaanis võtta pangast laen 15 kuuks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 3% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;

On teada, et kaheksas makse oli 99,2 tuhat rubla. Kui palju tuleb kogu laenuperioodi jooksul pangale tagasi maksta?

31. detsembril 2014 laenas Oleg pangast kindla summa kindla protsendiga aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine - iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (ehk suurendab võlga protsenti), seejärel kannab Oleg järgmise osa. Kui ta maksab igal aastal 328 050 rubla, maksab ta võla ära 4 aastaga. Kui 587 250 rubla eest, siis 2 aastat. Leia.

Kaks identset basseini hakkasid korraga veega täituma. Esimene bassein saab 30 m ^ 3 rohkem vett tunnis kui teine. Mingil hetkel oli kahes basseinis koos vett sama palju kui kummagi maht. Peale seda täitus 2 tunni ja 40 minuti pärast esimene bassein ja veel 3 tunni ja 20 minuti pärast teine. Kui palju vett tunnis teise basseini toodi? Kui kaua kulus teise basseini täitumiseks?

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg 2% võrreldes eelmise kuu lõpuga;

Iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus.

Mitu protsenti laenusummast moodustab kogu laenuperioodi jooksul pangale makstava rahasumma?

20. detsembril võttis Valeri pangast laenu summas 500 tuhat rubla. viieks kuuks. Laenu tagasimakse tingimused on järgmised:

Iga kuu 5. kuupäeval suureneb võlg eelmise kuuga võrreldes täisarvu n protsenti;

Iga kuu 6.-19. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 20. kuupäeval peab võlgnevus olema teatud summas vastavalt tabelile:

Leidke väikseim n, mille korral võetud laenu ületavate maksete summa (intressimaksed) on üle 200 tuhande rubla.

Kolm erineva võimsusega automaati peavad tootma igaüks 800 detaili. Esiteks käivitati esimene masin, 20 minuti pärast - teine ​​ja veel 35 minuti pärast - kolmas. Igaüks neist töötas tõrgete ja seisakuteta ning töö käigus tekkis hetk, mil iga masin täitis sama ülesande osa. Mitu minutit enne seda, kui teine ​​masin kolmanda töö lõpetas, kui esimene lõpetas ülesande 1 tund 28 minutit pärast kolmandat?

Kahes piirkonnas töötab mõlemas 90 töötajat, kellest igaüks on valmis töötama 5 tundi päevas alumiiniumi või nikli kaevandamise alal. Esimeses piirkonnas toodab üks töötaja 0,3 kg alumiiniumi või 0,1 kg niklit tunnis. Teises piirkonnas kulub x kg alumiiniumi kaevandamiseks päevas x^2 inimtöötundi ja y kg nikli kaevandamiseks päevas y^2 töötundi.

Tööstuse vajadusteks võib kasutada kas alumiiniumi või niklit ning 1 kg alumiiniumi saab asendada 1 kg nikliga. Kui suur on metallide suurim mass, mida kahes piirkonnas kokku saab tööstuse vajadusteks kaevandada?

2016. aasta juulis on plaanis võtta pangast laenu kolmeks aastaks summas S miljonit rubla, kus S on täisarv. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta jaanuaris suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 25%;
- iga aasta veebruarist juunini on vaja osa võlast tasuda ühe maksega;
- iga aasta juulis peab võlg olema osa laenust vastavalt järgmisele tabelile.

Leidke S väikseim väärtus, mille korral iga makse on üle 5 miljoni rubla

1. augustil 2016 avas Valeri pangas 100 000 rubla investeerides neljaks aastaks 10% aastas täitmiskonto.

1. augustil 2017 ja 1. augustil 2019 on tal plaanis arvele kanda n tuhat rubla. Leidke väikseim täisarv n, et 1. augustiks 2020 oleks Valeri kontol vähemalt 200 000 rubla.

15. jaanuaril on plaanis võtta pangast laenu kuueks kuuks summas 1 miljon rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg r protsenti võrreldes eelmise kuu lõpuga, kus r on täisarv;

Iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 15. kuupäeval peab võlg olema teatud summas vastavalt järgmisele tabelile

Leidke r suurim väärtus, mille korral maksete kogusumma on väiksem kui 1,2 miljonit rubla.

Juulis võeti mitmeks aastaks laenu 8,8 miljonit rubla. Iga järgmise aasta alguses suureneb võla jääk võrreldes eelmise aasta lõpuga 25%. Iga aasta 1. juuliks peab klient osa võlast tagasi maksma selliselt, et alates 1. juulist väheneks võlgnevus igal aastal sama palju. Viimane makse on 1 miljon rubla. Leidke pangale makstud kogusumma.

Juulis on plaanis teatud perioodiks (aastate täisarv) võtta pangast laenu summas 14 miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga aasta jaanuaris suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 10% võrra;
- iga aasta veebruarist juunini tuleb tasuda osa võlast;
- iga aasta juulis peab võlg olema sama palju väiksem kui eelmise aasta juuli võlg

Kui suur on maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist, kui väikseim aastamakse on 3,85 miljonit rubla?

Aasta alguses valib ettevõte Zhilstroyservice mitme erineva intressimääraga laenu andva panga hulgast laenu saamiseks panga. Ettevõte plaanib saadud laenu käsutada järgmiselt: 75% laenust suunatakse suvilate ehitamiseks ning ülejäänud 25% elanikele kinnisvarateenuste osutamiseks. Esimene projekt võib tuua kasumit 36% kuni 44% aastas ja teine ​​- 20% kuni 24% aastas. Ettevõte peab aasta lõpus tagastama pangale laenu koos intressidega ning samal ajal ootab nendest tegevustest puhaskasumit vähemalt 13%, kuid mitte rohkem kui 21% aastas kogu saadud laenust. Millised peaksid olema valitud pankade madalaimad ja kõrgeimad intressimäärad, et ettevõte tagaks endale ülaltoodud kasumitaseme?

15. jaanuaril 2012 väljastas pank laenu summas 1 miljon rubla. Tema tagasituleku tingimused olid järgmised:
- Iga aasta 1. jaanuaril suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga;
- osa võlast tasutakse iga aasta jaanuaris pärast intresside kogunemist.
Laen maksti tagasi kahe aastaga ja samal ajal kanti esimesel aastal üle 600 tuhat rubla ja teisel 550 tuhat rubla.
Leia.

Uue tehase ehitamine maksab 78 miljonit rubla. Tootmiskulud x tuhat ühikut. tooted sellises tehases on 0,5x² + 2x + 6 miljonit rubla aastas. Kui tehase tooteid müüakse hinnaga r tuhat rubla ühiku kohta, siis on ettevõtte ühe aasta kasum (miljonites rublades) (px - (0,5x² + 2x + 6)). Kui tehas on ehitatud, toodab ettevõte tooteid sellistes kogustes, et kasum on suurim. Millise minimaalse p väärtuse juures tasub tehase ehitamine end ära mitte rohkem kui 3 aasta pärast?

2001. aasta alguses ostis Aleksei väärtpaberi 25 000 rubla eest. Iga aasta lõpus tõuseb paberi hind 3000 rubla võrra. Iga aasta alguses võib Aleksei paberi maha müüa ja raha pangakontole kanda. Igal aastal suureneb kontol olev summa 10%. Mis aasta alguses peaks Aleksei väärtpaberi maha müüma, et viisteist aastat pärast selle väärtpaberi ostmist oleks pangakontol olev summa suurim?

Mõlemas tehases töötab 1800 inimest. Esimeses tehases toodab üks töötaja vahetuses 1 osa A või 2 osa B. Teises tehases on t detaili (nii A kui B) valmistamiseks vaja t^2 mehevahetust.

Mõlemas tehases töötab 200 inimest. Esimeses tehases toodab üks töötaja vahetuses 1 osa A või 3 osa B. Teises tehases on t detaili (nii A kui ka B) valmistamiseks vaja t^2 mehevahetust.

Mõlemad tehased tarnivad tehasesse osi, millest panevad kokku toote, mille valmistamiseks on vaja 1 osa A ja 1 osa B. Samal ajal lepivad tehased omavahel kokku, et toodavad osi nii, et kõige rohkem tooteid saab kokku panna. Mitu toodet suudab tehas sellistel tingimustel vahetuses kokku panna?

Mõlemas tehases valmistatakse A- ja B-osasid.Esimeses tehases töötab 40 inimest ja üks töötaja teeb vahetuses 15 A-osa või 5 B-osa.Teises tehases on 160 inimest ja üks töötaja teeb 5 A-osa ehk 15 osa vahetuses. vahetus. üksikasjad B.

Mõlemad tehased varustavad tehast osadega, millest panevad kokku toote, mille valmistamiseks on vaja 2 osa A ja 1 osa B. Samal ajal lepivad tehased omavahel kokku, et toodavad osi nii, et kõige rohkem tooteid saab kokku panna. Mitu toodet suudab tehas sellistel tingimustel vahetuses kokku panna?

Mõne 40% alkoholi sisaldava toote C tootmiseks saab Aleksei osta toorainet kahelt tarnijalt A ja B. Tarnija A pakub 90% alkoholilahust 1000 l kanistrites hinnaga 100 tuhat rubla. kanistri jaoks. Tarnija B pakub 80% alkoholilahust 2000-liitristes kanistrites hinnaga 160 000 rubla. kanistri jaoks. Saadud toode B villitakse 0,5-liitristesse pudelitesse. Kui suur on minimaalne summa, mille Aleksei peab toorainele kulutama, kui ta kavatseb toota täpselt 60 000 pudelit toodet B?

1. märtsil 2016 pani Ivan Lvovitš pangahoiusele 1 aastaks 20 000 rubla igakuise intressi ja kapitalisatsiooniga 21% aastas. See tähendab, et iga kuu esimesel päeval suureneb hoiuse summa sama suure intressi võrra, mis on arvutatud nii, et see kasvab 12 kuuga täpselt 21%. Mitme kuu pärast ületab sissemakse summa esimest korda 22 000 rubla?

15. mail plaanis ärimees võtta 19 kuuks pangalaenu summas 12 miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg võrreldes eelmise kuu lõpuga 2%;

Iga kuu 2. kuni 14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus.

Mitu protsenti võrreldes võetud laenuga peab ärimees maksma rohkem?

Mõne 40% alkoholi sisaldava toote C tootmiseks saab Aleksei osta toorainet kahelt tarnijalt A ja B. Tarnija A pakub 90% alkoholilahust 1000 l kanistrites hinnaga 100 tuhat rubla. kanistri jaoks. Tarnija B pakub 80% alkoholilahust 2000-liitristes kanistrites hinnaga 160 000 rubla. kanistri jaoks. Saadud toode B villitakse 0,5-liitristesse pudelitesse. Kui suur on minimaalne summa, mille Aleksei peab toorainele kulutama, kui ta kavatseb toota täpselt 60 000 pudelit toodet B?

Vladimirile kuulub kaks külmikute tootmise tehast. Esimese tehase tootlikkus ei ületa 950 külmkappi päevas. Teise tehase toodang moodustas algselt 95% esimese tehase omast. Pärast lisaliini kasutuselevõttu suurendas teine ​​tehas külmikute toodangut päevas täpselt 23% võrra esimeses tehases toodetud külmikute arvust ja hakkas neid tootma üle 1000. Mitu külmkappi valmistas iga tehas päevas enne teise tehase rekonstrueerimist?

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg 2% võrreldes eelmise kuu lõpuga;

Iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus.

On teada, et neljanda laenukuu eest peate maksma 54 tuhat rubla. Kui palju tuleb kogu laenuperioodi jooksul pangale tagasi maksta?

Juulis võttis klient mitmeks aastaks laenu summas 8,8 miljonit rubla.

Tagastamistingimused on järgmised:

Iga järgmise aasta alguses suureneb võla jääk võrreldes eelmise aasta lõpuga 25%.
- enne iga aasta 1. juulit peab klient tagastama pangale osa võlast selliselt, et võrreldes 1. juuliga väheneks võlg igal aastal sama palju.

On teada, et viimane makse on 1 miljon rubla. Leidke maksete kogusumma, mille klient pangale maksab.

Sõbrad Polina ja Christina unistavad saada modelliks. 1. jaanuaril otsustasid nad kaalu langetama hakata. Samal ajal osutus Polina kaal Christina omast 10% suuremaks.

Veebruaris kaotab Christina veel 2%.

A) Mis on väikseim täisarv %, mida Polina peab veebruaris kaalust alla võtma, et 1. märtsiks oleks tema kaal Christina omast väiksem?

B) Kui palju kaalub Christina veebruari lõpuks, kui on teada, et 1. jaanuaril kaalus Polina 55 kg?

Maardla plaanitakse avada neljaks aastaks. Esialgne sissemakse on täisarv miljonites rublades. Iga aasta lõpus suureneb hoius 10% võrreldes selle aasta alguse suurusega ning lisaks täiendatakse kolmanda ja neljanda aasta alguses hoiust aastas 3 miljoni rubla võrra. Leidke algse sissemakse suurim summa, mille juures nelja aasta pärast on sissemakse alla 25 miljoni rubla.

Mõlemas tehases töötab 20 inimest. Esimeses tehases toodab üks töötaja vahetuses 2 osa A või 2 osa B. Teises tehases on t detaili (nii A kui B) valmistamiseks vaja t^2 mehevahetust.

Mõlemad tehased tarnivad tehasesse osi, millest panevad kokku toote, mille valmistamiseks on vaja 1 osa A ja 1 osa B. Samal ajal lepivad tehased omavahel kokku, et toodavad osi nii, et kõige rohkem tooteid saab kokku panna. Mitu toodet suudab tehas sellistel tingimustel vahetuses kokku panna?

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg 2% võrreldes eelmise kuu lõpuga;

Iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus.

Teatavasti tuleb viienda laenukuu (2. kuni 14. juuni) eest pangale tasuda 44 tuhat rubla. Kui palju tuleb kogu laenuperioodi jooksul pangale maksta?

Talunikul on 2 põldu, millest igaüks on 10 hektari suurune. Igal põllul saab kasvatada kartulit ja peeti, põldu võib nende kultuuride vahel jagada suvalises vahekorras. Kartulisaak esimesel põllul on 300 c/ha ja teisel - 200 c/ha. Peedisaak esimesel põllul on 200 c/ha ja teisel 300 c/ha.

Talunik saab müüa kartulit hinnaga 4000 rubla. protsenti ja peet - hinnaga 5000 rubla. protsenti senti. Kui suur on maksimaalne sissetulek, mida põllumees saab teenida?

Töökoda sai tellimuse 2000 A-tüüpi detaili ja 14000 B-tüüpi detailide valmistamiseks.. Iga tsehhi 146 töötajast kulub ühe A-tüüpi osa valmistamisele aega, mille jooksul saab valmistada 2 B-tüüpi detaili Kuidas peaks jagada tsehhi töötajad kahte meeskonda, et tellimus võimalikult lühikese aja jooksul täita, eeldusel, et mõlemad meeskonnad alustavad tööd samal ajal ja kumbki meeskond on hõivatud ainult ühte tüüpi osade valmistamisega?

Mõlemas tehases töötab 100 inimest. Esimeses tehases toodab üks töötaja vahetuses 3 osa A või 1 osa B. Teises tehases on t detaili (nii A kui B) valmistamiseks vaja t^2 mehevahetust.

Mõlemad tehased varustavad tehast osadega, millest panevad kokku toote, mille valmistamiseks on vaja 1 osa A ja 3 osa B. Samal ajal lepivad tehased omavahel kokku, et toodavad osi nii, et kõige rohkem tooteid saab kokku panna. Mitu toodet suudab tehas sellistel tingimustel vahetuses kokku panna?

17. detsembril 2014 laenas Anna pangast 232 050 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 17. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi ja seejärel kannab Anna panka X rubla. Kui suur peab olema X summa, et Anna saaks võla neljas võrdses osas täielikult tagasi maksta?

Need on:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus 3% võrreldes eelmise kuu lõpuga;
- iga kuu 2.-14. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest;
- Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus.
Kui suur summa tuleks pangale tagastada esimese laenuaasta (esimesed 12 kuud) jooksul?

Äriplaani järgi on nelja-aastasesse projekti plaanitud investeerida 10 miljonit rubla. Vastavalt iga aasta tulemustele on plaanis investeeritud vahendeid aasta algusega võrreldes suurendada 15%. Kogunenud intress jääb projekti investeerituks. Lisaks on kohe pärast intresside kogumist vaja täiendavaid investeeringuid: esimesel ja teisel aastal täisarv n miljonit rubla ning kolmandal ja neljandal aastal m miljonit rubla.

Leidke n ja m väikseimad väärtused, mis kahe aastaga vähemalt kahekordistavad alginvesteeringu ja nelja aastaga vähemalt kolmekordistavad

Kahes piirkonnas töötab 100 töötajat, kellest igaüks on valmis töötama 10 tundi päevas alumiiniumi või nikli kaevandamise alal. Esimeses piirkonnas toodab üks töötaja 0,3 kg alumiiniumi või 0,1 kg niklit tunnis. Teises piirkonnas kulub x kg alumiiniumi kaevandamiseks päevas x^2 inimtöötundi ja y kg nikli kaevandamiseks päevas y^2 töötundi.

Mõlemad piirkonnad tarnivad kaevandatud metalli tehasesse, kus toodetakse tööstuse vajadusteks alumiiniumi ja nikli sulamit, milles 2 kg alumiiniumi moodustab 1 kg niklit. Samas lepivad piirkonnad omavahel kokku metallide kaevandamises, et tehas saaks toota suurima koguse sulamit. Mitu kilogrammi sulamit suudab taim sellistes tingimustes päevas toota?

Kui mitmeks aastaks on plaanis laenu võtta, kui on teada, et maksete kogusumma pärast selle täielikku tagasimaksmist on 18 miljonit rubla?

Taluniku käsutuses on kaks põldu, kummagi pindala on 10 hektarit. Kartulit ja peeti võib kasvatada igal põllul ning põlde võib nende kultuuride vahel jagada suvalises vahekorras. Kartulisaak esimesel põllul on 500 c/ha ja teisel - 300 c/ha. Peedisaak esimesel põllul on 300 c/ha, teisel aga 500 c/ha.
Talunik saab müüa kartulit hinnaga 2000 rubla. protsenti ja peet - hinnaga 3000 rubla. protsenti senti. Kui suur on maksimaalne sissetulek, mida põllumees saab teenida?

10. juunil võttis pank laenu 15 kuuks. Seejuures iga kuu 3. kuupäeval suureneb võlg eelmise kuu lõpuga võrreldes protsenti, iga kuu 4. kuupäevast 9. kuupäevani tuleb tasuda osa võlgnevusest ning 2010. aasta 1. kuupäeval. 10. kuupäeval peab võlg olema sama suur summa, millest on maha arvatud võlg eelmise kuu 10. kuupäeval.

Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlg 1% võrreldes eelmise kuu lõpuga;

Iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb tasuda osa võlast;

Iga kuu 15. kuupäeval peab võlgnevus olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeva võlgnevus. Teadaolevalt tuleb esimese 12 kuu eest pangale tasuda 177,75 tuhat rubla. Kui palju plaanite laenata?

Ettevõtja ostis hoone ja kavatseb avada selles hotelli. Hotellis võivad olla 21-ruutmeetrised standard- ja 49-ruutmeetrised deluxe-toad. Kokku on ruumideks eraldatav pind 1099 ruutmeetrit. Ettevõtja saab seda ala jagada erinevat tüüpi ruumide vahel, nagu soovib. Tavaline tuba toob hotellile 2000 rubla päevas ja deluxe tuba 4500 rubla päevas. Kui suur on maksimaalne rahasumma, mida ettevõtja saab oma hotellist teenida?

On teada, et viimase 12 kuu jooksul on vaja pangale tasuda 1597,5 tuhat rubla. Kui palju plaanite laenata?

15. jaanuaril on plaanis võtta pangast laen 14 kuuks. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Iga kuu 1. kuupäeval suureneb võlgnevus eelmise kuu lõpuga võrreldes r%;
- iga kuu 2.-14. kuupäevast tuleb osa võlgnevust tagasi maksta;
- Iga kuu 15. kuupäeval peaks võlg olema sama palju väiksem kui eelmise kuu 15. kuupäeval.
Teadaolevalt on maksete kogusumma pärast laenu täielikku tagasimaksmist 15% suurem kui laenule võetud summa. Leia r.

2001. aasta alguses ostis Aleksei väärtpaberi 7000 rubla eest. Iga aasta lõpus tõuseb paberi hind 2000 rubla võrra. Iga aasta alguses saab Aleksei paberi maha müüa ja raha pangakontole kanda. Igal aastal suureneb kontol olev summa 10%. Mis aasta alguses peaks Aleksei väärtpaberi maha müüma, et viisteist aastat pärast selle väärtpaberi ostmist oleks pangakontol olev summa suurim?

Gregory on kahe tehase omanik erinevates linnades. Tehased toodavad täpselt sama kaupa, kuid teises linnas asuv tehas kasutab täiustatud seadmeid.

Sellest tulenevalt, kui esimeses linnas asuvas tehases töötavad töölised nädalas kokku t^2 tundi, siis sel nädalal toodavad nad 3t kaubaühikut; kui teises linnas asuvas tehases töötavad töölised nädalas kokku t^2 tundi, siis sel nädalal toodavad nad 4t kaubaühikut.
- igal jaanuaril suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 10%;
- iga aasta veebruarist juunini tuleb tasuda osa võlast;
- iga aasta juulis peaks võlg olema sama palju väiksem kui eelmise aasta juuli võlg.
Mitu miljonit rubla oli maksete kogusumma pärast laenu tagasimaksmist?

Juulis on plaanis võtta pangast teatud perioodiks laenu summas 6 miljonit rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- igal jaanuaril suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 20%;
- iga aasta veebruarist juunini tuleb tasuda osa võlast;
- iga aasta juulis peaks võlg olema sama palju väiksem kui eelmise aasta juuli võlg.
Milliseks minimaalseks perioodiks tuleks laenu võtta, et suurim laenumakse aastas ei ületaks 1,8 miljonit rubla?

Juulis on plaanis võtta laenu summas 4 026 000 rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- Igal jaanuaril suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga 20%.
- Iga aasta veebruarist juunini on vaja tasuda mingi osa võlast.
Kui palju rubla tuleb maksta rohkem, kui laen makstakse täielikult tagasi nelja võrdse osamaksena (st 4 aasta jooksul), võrreldes juhul, kui laen makstakse täielikult tagasi kahes võrdses osas (st 2 aasta jooksul)?

Juulis on plaanis võtta pangast laenu summas 100 000 rubla. Selle tagastamise tingimused on järgmised:
- igal jaanuaril suureneb võlg võrreldes eelmise aasta lõpuga;
- Iga aasta veebruarist juunini tuleb tasuda osa võlast.
Leidke arv a, kui on teada, et laen maksti kahe aastaga täielikult tagasi ja esimesel aastal kanti üle 55 000 rubla, teisel aastal 69 000 rubla.

Pank määras summale 3900 tuhat rubla 50% aastas. Iga esimese nelja hoiuaasta lõpus, pärast intressi arvestamist, kandis hoiustaja kontole täiendavalt sama fikseeritud summa. Viienda aasta lõpuks pärast intresside arvestamist selgus, et hoiuse summa oli esialgsega võrreldes kasvanud 725%. Kui palju panustaja igal aastal hoiusele lisas?

Ettevõtja võttis pangalaenu 9 930 000 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem: kord aastas peab klient tasuma pangale sama summa, mis koosneb kahest osast. Esimene osa on 10% ülejäänud võlast ja teine ​​osa on suunatud ülejäänud võla tagasimaksmisele. Igal järgneval aastal arvestatakse intressi ainult ülejäänud võlasummalt. Kui suur peaks olema aastane maksesumma (rublades), et ettevõtja saaks laenu kolmes võrdses osas täielikult tagasi maksta?

Selles artiklis käsitleme ülesande 17 probleemide lahendamist, mille puhul on maksimaalse kasumi saamiseks vaja toodangut optimaalselt jaotada.

Ülesanne 1. Konservitehas toodab puuviljakompotte kahte tüüpi anumas – klaas- ja plekknõus. Tehase tootmisvõimsus lubab päevas toota 90 senti klaasnõus või 80 senti plekknõudes kompotte. Jaekettide poolt esitatavate sortimendi tingimuste täitmiseks peab igas konteineritüübis olema tooteid vähemalt 20 senti. Tabelis on näidatud tehase maksumus ja müügihind 1 senti toodete kohta mõlemat tüüpi konteinerite puhul.

Eeldusel, et kõik taime tooted on nõutud (müüakse jäljetult), leidke tehase maksimaalne võimalik ühe päeva kasum (kasum on kõikide toodete müügihinna ja selle maksumuse vahe).

Kasumi suurus sõltub sellest, kuidas tehases tootmisvõimsused jaotatakse ehk milline osa võimsustest suunatakse kompottide tootmiseks klaasmahutis ja milline osa - tina. Väärtust, millest kasum sõltub, võetakse kui teadmata.

Olgu väärtuseks osa tehase võimsusest, mis on suunatud klaasanumates kompottide tootmisele. Seejärel on ülejäänud võimsused suunatud tinakonteinerites kompottide tootmisele.

Sel juhul toodab tehas senti kompotti klaasanumas ja senti tina.

Kasum ühest toodangusendisest võrdub müügihinna ja omahinna vahega. Sellel viisil

1 senti kompotti klaasnõus teeb kasumit

1 senti kompotti plekknõudes teeb kasumit

Selle tulemusena saadav kasum, olenevalt tahtest

Lihtsustage funktsiooni avaldist

Koefitsient at on suurem kui null, seetõttu on see kasvav funktsioon ja mida suurem väärtus, seda suurem on kasum. Kuid vastavalt probleemi seisukorrale on võimatu anda kõiki võimsusi klaasanumates kompottide tootmiseks: jaekettide poolt esitatavate sortimendi tingimuste täitmiseks peab igas konteineritüübis olema tooteid vähemalt 20 senti.

Uurime, milline osa võimsustest tuleks anda plekk-anumates kompottide valmistamisele:

Plekist anumates kompottide tootmiseks on vaja anda osa tehase kõigist võimsustest, seetõttu saab klaasnõus kompottide tootmiseks anda maksimumi kõigist võimsustest.

Vastus: .

2. ülesanne. Taluniku käsutuses on kaks põldu, kummagi pindala on 10 hektarit. Igal põllul saab kasvatada kartulit ja peeti ning põlde võib nende kultuuride vahel jagada suvalises vahekorras. Kartulisaak esimesel põllul on 500 c/ha ja teisel - 300 c/ha. Peedisaak esimesel põllul on 300 c/ha, teisel aga 500 c/ha.

Talunik saab müüa kartulit hinnaga 5000 rubla. protsenti ja peet - hinnaga 8000 rubla. protsenti senti. Kui suur on maksimaalne sissetulek, mida põllumees saab teenida?

(kogumikust Tüüpilised testiülesanded matemaatikas, toimetanud I. V. Jaštšenko. 2016)

Põllumajandustootja sissetuleku suurus sõltub sellest, kuidas jaotatakse iga põllu pindala kartuli- ja peediistanduste vahel.

Põllumees võtab esimesel põllul hektari kartuli jaoks. Siis jääb ha peedi alla.

Kartuli saak esimesel põllul on 500 c/ha, peedil 300 c/ha.

Sel juhul on esimese välja kasum - meil on kasvav funktsioon, mis võtab suurima väärtuse maksimaalse võimaliku väärtuse juures. Kuna kartuli ja peedi vahel istutusalade jaotamisel piiranguid pole, on põllumehel kasulik kogu esimene põld kartuliks anda, siis saab ta kasumit:

Hõõruge.

Teeme sama ka teise väljaga.

Las põllumees võtab teisel põllul hektari kartuli jaoks. Siis jääb ha peedi alla.

Kartuli saak teisel põllul on 300 c/ha, peedil 500 c/ha.

Kui järele mõelda, ei pea siin isegi funktsiooni tegema, sest peedi saagikus on teisel põllul suurem kui kartulil ja ka ühe sendi peedi maksumus on suurem. Seetõttu on ilmne, et põllumehel on kasulikum kasvatada ainult peeti teisel põllul. Sel juhul on kasum teisest väljast

Hõõruge.

Taluniku kogukasum on RUR.

Vastus:

finantsmatemaatika

Õigesti tehtud ülesande eest ilma vigadeta saate 3 punkti.

Umbes 35 minutit.

Profiilitaseme matemaatika ülesande 17 lahendamiseks peate teadma:

1. Ülesanne on jagatud mitmeks tüübiks:
   • pankade, hoiuste ja laenudega seotud ülesanded;
   • ülesanded optimaalseks valikuks.
2. Kuumakse arvutamise valem: S krediit = S/12t
3. Lihtintressi arvutamise valem: S=α (1 + tp/m)
4. Liitintressi arvutamise valem: C \u003d x (1 + a%)n

protsent – on üks sajandik väärtusest.

• x*(1 + p/100) – väärtus x võrra suurenenud lk%
• x*(1 - k/100) – väärtus x võrra vähenenud k%
• x*(1 + p/100) k - väärtus x võrra suurenenud lk% küks kord
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – väärtus X esmalt suurendati lk% ja seejärel vähenes k%

Ülesanded laenu tagasimaksmiseks võrdsetes osades:

Laenusummat võetakse kui X. Pangaintress - aga. Laenu tagasimakse - S.

Aasta pärast intressi arvestamist ja summa tasumist S võlg - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Võlg 2 aasta pärast: (xp-S)p-S
• Võlg pärast 3 aastat: ((xp - S)p - S)p - S
• Võlasumma läbi n aastat: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)

Täna kaldume veidi kõrvale standardlogaritmidest, integraalidest, trigonomeetriast jne ning koos kaalume üht elulisemat ülesannet matemaatika ühtsest riigieksamist, mis on otseselt seotud meie mahajäänud Venemaa ressursipõhise majandusega. Ja kui täpne olla, siis käsitleme hoiuste, intresside ja laenude probleemi. Sest just protsentidega ülesanded on hiljuti lisatud matemaatika ühtse riigieksami teise osasse. Teen kohe reservatsiooni, et vastavalt USE spetsifikatsioonidele pakutakse selle probleemi lahendamiseks korraga kolm peamist punkti, st eksamineerijad peavad seda ülesannet üheks kõige keerulisemaks.

Samal ajal peate matemaatika ühtse riigieksami ülesannete lahendamiseks teadma ainult kahte valemit, millest igaüks on igale koolilõpetajale üsna kättesaadav, kuid mulle arusaamatutel põhjustel on need valemid täiesti ignoreeritud nii kooliõpetajate kui ka erinevate eksamiks valmistumise ülesannete koostajate poolt. Seetõttu ei räägi ma teile täna lihtsalt, mis need valemid on ja kuidas neid rakendada, vaid tuletan kõik need valemid sõna otseses mõttes teie silme all, võttes aluseks matemaatika avatud USE panga ülesanded.

Seetõttu osutus tund üsna mahukaks, üsna sisukaks, nii et tehke end mugavalt ja alustame.

Raha panka panemine

Kõigepealt tahaks teha väikese lüürilise kõrvalepõike, mis on seotud rahanduse, pankade, laenude ja hoiustega, mille põhjal saame valemid, millega seda probleemi lahendame. Niisiis, kaldume veidi kõrvale eksamitest, eelseisvatest kooliprobleemidest ja vaatame tulevikku.

Oletame, et olete suureks saanud ja kavatsete korterit osta. Oletame, et ostate 20 miljoni rubla eest mitte halva korteri, vaid hea kvaliteediga korteri. Samas oletame ka, et saite enam-vähem normaalse töö ja teenite 300 tuhat rubla kuus. Sel juhul saate aasta jooksul säästa umbes kolm miljonit rubla. Muidugi, teenides 300 tuhat rubla kuus, saate aasta eest veidi suurema summa - 3 600 000 -, kuid kulutagu need 600 000 toidule, riietele ja muudele igapäevastele majapidamisrõõmudele. Sisendandmed on kokku järgmised: teenida on vaja paarkümmend miljonit rubla, samas kui meie käsutuses on vaid kolm miljonit rubla aastas. Tekib loomulik küsimus: mitu aastat peame kolm miljonit kõrvale panema, et need samad paarkümmend miljonit kätte saada. Seda peetakse elementaarseks:

\[\frac(20)(3)=6,...\kuni 7\]

Kuid nagu me juba märkisime, teenite kuus 300 tuhat rubla, mis tähendab, et olete targad inimesed ega hoia raha "padja alla", vaid viite selle panka. Ja seetõttu võetakse igal aastal panka toodavate hoiuste pealt intressi. Oletame, et valite usaldusväärse, kuid samal ajal enam-vähem kasumliku panga ja seetõttu kasvavad teie hoiused aastas 15% võrra. Teisisõnu võime öelda, et teie kontodel olev summa suureneb igal aastal 1,15 korda. Tuletan teile meelde valemit:

Arvutame välja, kui palju raha teie kontodel iga aasta järel on:

Esimesel aastal, kui alles hakkate raha säästma, ei kogune intressi, see tähendab, et aasta lõpus säästate kolm miljonit rubla:

Teise aasta lõpus kogunevad juba intressid nendele kolmele miljonile rublale, mis on jäänud esimesest aastast, s.o. peame korrutama 1,15-ga. Teise aasta jooksul teatasite aga veel kolmest miljonist rublast. Muidugi polnud neil kolmel miljonil veel intressi kogunenud, sest teise aasta lõpuks olid need kolm miljonit alles kontole ilmunud:

Niisiis, kolmas aasta. Kolmanda aasta lõpus koguneb sellelt summalt intress, see tähendab, et kogu summa on vaja korrutada 1,15-ga. Ja jälle, terve aasta tegite kõvasti tööd ja panite kõrvale kolm miljonit rubla:

\[\left(3m\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m\]

Arvutame veel neljandat aastat. Jällegi, kogu summa, mis meil oli kolmanda aasta lõpus, korrutatakse 1,15-ga, s.o. Kogu summalt arvestatakse intressi. See hõlmab intressi intressidelt. Ja sellele summale lisandub veel kolm miljonit, sest neljandal aastal töötasite ja ka säästsite raha:

\[\left(\left(3m\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m \parem)\cpunkt 1,15+3m\]

Ja nüüd teeme sulgud lahti ja vaatame, mis summa meil neljanda säästmisaasta lõpuks käes on:

\[\begin(joona)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cpunkt ((1,15)^(2))+3m\cpunkt 1,15+3m \paremal)\cpunkt 1,15+3m= \\& =3m\cpunkt ((1,15)^(3 ))+3m\cpunkt ((1,15)^(2))+3m\cpunkt 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1) ,15)^(2))+1,15+1 \parem)= \\& =3m\vasak(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \parem) \\\end(joonda)\]

Nagu näete, on sulgudes geomeetrilise progressiooni elemendid, st meil on geomeetrilise progressiooni elementide summa.

Tuletan meelde, et kui geomeetrilise progressiooni annab element $((b)_(1))$ ja ka nimetaja $q$, siis arvutatakse elementide summa järgmise valemi järgi:

See valem peab olema teada ja selgelt rakendatud.

Pange tähele: valem n element kõlab järgmiselt:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Selle kraadi tõttu on paljud õpilased segaduses. Kokku on meil just n summa eest n- elemendid ja n-ndal elemendil on aste $n-1$. Teisisõnu, kui proovime nüüd arvutada geomeetrilise progressiooni summat, siis peame arvestama järgmisega:

\[\begin(joona)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(joonda)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Arvutame lugeja eraldi:

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right) ))^(2))=1,74900625\ligikaudu 1,75\]

Kokkuvõttes, naastes geomeetrilise progressiooni summa juurde, saame:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15)=5\]

Selle tulemusena saame, et nelja säästuaastaga ei kasva meie esialgne summa mitte neli korda, nagu me poleks raha panka paigutanud, vaid viis korda ehk viisteist miljonit. Kirjutame selle eraldi:

4 aastat → 5 korda

Tulevikku vaadates ütlen, et kui oleksime säästnud mitte neli, vaid viis aastat, siis selle tulemusena oleks meie säästude summa kasvanud 6,7 korda:

5 aastat → 6,7 korda

Ehk siis viienda aasta lõpuks oleks meil kontol järgmine summa:

See tähendab, et viienda säästuaasta lõpuks oleks hoiuintresse arvesse võttes laekunud juba üle kahekümne miljoni rubla. Seega väheneks kogu pangaintressidelt kogumiskonto ligi seitsmelt aastalt viiele ehk ligi kahe aasta võrra.

Seega, isegi vaatamata sellele, et pank küsib meie hoiustelt üsna madalat intressi (15%), annavad need samad 15% viie aasta pärast tõusu, mis ületab oluliselt meie aastakasumit. Samas ilmneb põhiline kordaja mõju viimastel aastatel ja isegi pigem viimasel säästuaastal.

Miks ma seda kõike kirjutasin? Muidugi mitte selleks, et agiteerida teid raha panka tassima. Sest kui sa tõesti tahad oma sääste suurendada, siis pead need investeerima mitte panka, vaid päris ärisse, kus need samad protsendid ehk kasumlikkus Venemaa majanduse tingimustes langevad harva alla 30% ehk kaks korda. sama palju pangahoiuseid.

Kuid kogu selle arutluse juures on tõesti kasulik valem, mis võimaldab meil leida hoiuse lõppsumma iga-aastaste maksete summa ja ka panga poolt võetavate intresside kaudu. Nii et kirjutame:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\tekst(%))^(n))-1)(\tekst(%)-1)\]

Iseenesest arvutatakse % järgmise valemi abil:

Samuti tuleb teada seda valemit, samuti sissemakse suuruse põhivalemit. Ja omakorda võib põhivalem oluliselt vähendada arvutusi nendes protsentuaalsete probleemide puhul, kus on vaja sissemakse arvutada.

Miks kasutada tabelite asemel valemeid?

Tõenäoliselt tekib paljudel küsimus, miks kõik need raskused üldse, kas on võimalik iga aasta lihtsalt tahvelarvutisse kirjutada, nagu paljudes õpikutes tehakse, arvutada iga aasta eraldi ja siis arvutada välja panuse kogusumma? Muidugi võite üldiselt unustada geomeetrilise progressiooni summa ja lugeda kõike klassikaliste tahvelarvutite abil – seda tehakse enamikus kogudes eksamiks valmistumiseks. Kuid esiteks suureneb järsult arvutuste maht ja teiseks selle tulemusena suureneb ka vea tegemise tõenäosus.

Üldiselt on laudade kasutamine selle imelise valemi asemel sama, mis ehitusplatsil kätega kraavide kaevamine selle asemel, et kasutada läheduses seisvat ja täielikult töötavat ekskavaatorit.

Noh, või sama asi, kui korrutada viis kümnega mitte korrutustabelit kasutades, vaid kümme korda järjest viis endale liita. Kuid olen juba kõrvale kaldunud, seega kordan veel kord kõige olulisemat mõtet: kui on võimalik arvutusi kuidagi lihtsustada ja lühendada, siis seda tuleb kasutada.

Laenu intressid

Arvutasime välja hoiused, seega liigume edasi järgmise teema juurde, nimelt laenuintresside juurde.

Nii et raha säästmise, eelarve hoolikalt planeerimise, tulevase korteri peale mõeldes otsustas oma klassivend ja nüüd lihtne töötu elada tänase päeva eest ja võtsid lihtsalt laenu. Samas ta ikka kiusab ja naerab su üle, öeldakse, et tal on krediittelefon ja kasutatud auto, laenuga võetud ja sina sõidad ikka metroos ja kasutad vana nupuga telefoni. Muidugi peab teie endine klassivend kõigi nende odavate "eputamise" eest kallilt maksma. Kui kallis - seda me praegu arvutame.

Esiteks lühike tutvustus. Oletame, et teie endine klassivend võttis laenuks kaks miljonit rubla. Samas peab ta lepingu järgi maksma x rubla kuus. Ütleme nii, et ta võttis laenu intressimääraga 20% aastas, mis praegustes tingimustes näeb päris korralik välja. Samuti eelda, et laenu tähtaeg on vaid kolm kuud. Proovime kõik need suurused ühte valemisse ühendada.

Nii et kohe alguses, niipea kui teie endine klassivend pangast lahkus, on tal taskus kaks miljonit ja see on tema võlg. Samal ajal pole möödunud aastat ega kuu, kuid see on alles algus:

Seejärel koguneb võlgnetavalt summalt ühe kuu pärast intress. Nagu me juba teame, piisab intressi arvutamiseks algse võla korrutamisest koefitsiendiga, mis arvutatakse järgmise valemi abil:

Meie puhul räägime intressimäärast 20% aastas, st võime kirjutada:

See on aastas tasumisele kuuluva summa suhe. Meie klassivend pole aga kuigi tark ja ta ei lugenud lepingut ja tegelikult anti talle laenu mitte 20% aastas, vaid 20% kuus. Ja esimese kuu lõpuks koguneb sellelt summalt intress ja see suureneb 1,2 korda. Kohe pärast seda peab isik tasuma kokkulepitud summa, st x rubla kuus:

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Ja jälle teeb meie poiss makse summas $x$ rubla.

Seejärel, kolmanda kuu lõpuks, suureneb tema võlasumma taas 20% võrra:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2- x\]

Ja kolme kuu tingimuse järgi peab ta tasuma täies mahus ehk peale viimase kolmandiku makse tegemist peaks tema võlasumma olema võrdne nulliga. Saame kirjutada selle võrrandi:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\right)1,2 - x=0\]

Otsustame:

\[\begin(joona)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cpunkt 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2) )^(3))=\cpunkt ((1,2)^(2))+\cpunkt 1,2+ \\& 2m\cpunkt ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \paremale) \\\end(joonda)\]

Meie ees on taas geomeetriline progressioon või õigemini geomeetrilise progressiooni kolme elemendi summa. Kirjutame selle ümber elementide kasvavas järjekorras:

Nüüd peame leidma geomeetrilise progressiooni kolme elemendi summa. Kirjutame:

\[\begin(joona)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(joonda)\]

Nüüd leiame geomeetrilise progressiooni summa:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Tuleb meeles pidada, et selliste parameetritega geomeetrilise progressiooni summa $\left(((b)_(1));q \right)$ arvutatakse järgmise valemiga:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

See on valem, mida me just kasutasime. Asendage see valem meie väljendiga:

Edasiste arvutuste jaoks peame välja selgitama, millega $((1,2)^(3))$ võrdub. Kahjuks ei saa me sellisel juhul enam kahekordse ruudu kujul maalida nagu eelmisel korral, vaid saame arvutada nii:

\[\begin(joona)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cpunkt 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(joonda)\]

Kirjutame oma väljendi ümber:

See on klassikaline lineaarne avaldis. Läheme tagasi järgmise valemi juurde:

Tegelikult, kui seda üldistada, saame valemi, mis ühendab intressid, laenud, maksed ja tingimused. Valem näeb välja selline:

Siin see on, tänase videotunni kõige olulisem valem, mille abil võetakse arvesse vähemalt 80% kõigist teise osa matemaatika ühtse riigieksami majandusülesannetest.

Kõige sagedamini küsitakse reaalsete ülesannete puhul makset või veidi harvemini laenu, see tähendab võla kogusummat, mis meie klassikaaslasel oli maksete alguses. Keerulisemate ülesannete puhul palutakse leida protsent, kuid väga keerukate puhul, mida analüüsime eraldi videotunnis, palutakse leida ajaraam, mille jooksul antud laenu- ja makseparameetritega meie töötu klassivend suudab pangale täies mahus ära maksta.

Võib-olla arvab keegi nüüd, et ma olen laenude, rahanduse ja üldse pangandussüsteemi äge vastane. Nii et ei midagi sellist! Vastupidi, ma usun, et krediidiinstrumendid on meie majandusele väga kasulikud ja hädavajalikud, kuid ainult tingimusel, et laenu võetakse ettevõtluse arendamiseks. Äärmisel juhul võib laenu võtta kodu ostmiseks ehk siis hüpoteeklaenuks või erakorraliseks arstiabiks – see selleks, muid põhjuseid laenu võtmiseks lihtsalt pole. Ja kõikvõimalikud töötud, kes võtavad laenu "eputamise" ostmiseks ja samas ei mõtle üldse tagajärgedele lõpuks ning muutuvad meie majanduse kriiside ja probleemide põhjustajaks.

Tulles tagasi tänase tunni teema juurde, märgin, et on vaja teada ka seda laenu, maksete ja intresside ning geomeetrilise progressiooni summa ühendavat valemit. Just nende valemite abil lahendatakse matemaatika ühtse riigieksami tegelikud majandusprobleemid. Noh, nüüd, kui teate seda kõike väga hästi, kui saate aru, mis on laen ja miks te ei peaks seda võtma, jätkame matemaatika ühtse riigieksami tegelike majandusprobleemide lahendamisega.

Matemaatika eksamilt lahendame reaalseid ülesandeid

Näide nr 1

Nii et esimene ülesanne on:

31. detsembril 2014 võttis Aleksei pangast laenu 9 282 000 rubla 10% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (st suurendab võlga 10%), seejärel kannab Aleksei panka X rubla. Kui suur peaks olema summa X, et Aleksei saaks võla tasuda nelja võrdse maksena (st nelja aasta jooksul)?

Niisiis, see on laenuprobleem, nii et kirjutame kohe üles oma valemi:

Laen on meile teada - 9 282 000 rubla.

Nüüd tegeleme protsentidega. Me räägime 10% probleemist. Seetõttu saame need tõlkida:

Saame teha võrrandi:

Oleme saanud tavalise lineaarvõrrandi $x$ suhtes, kuigi üsna suurte koefitsientidega. Proovime seda lahendada. Esiteks leiame avaldise $((1,1)^(4))$:

$\begin(joona)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(joonda)$

Nüüd kirjutame võrrandi ümber:

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(1 =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(joona)\]\[\]

See on kõik, meie probleem protsentidega on lahendatud.

Muidugi oli see kõige lihtsam ülesanne matemaatika ühtse riigieksami protsentidega. Päris eksamil sellist ülesannet suure tõenäosusega ei ole. Ja kui see juhtub, siis pidage end väga õnnelikuks. Noh, neile, kellele meeldib lugeda ja kellele ei meeldi riskida, liigume edasi järgmiste raskemate ülesannete juurde.

Näide nr 2

31. detsembril 2014 laenas Stepan pangast 4 004 000 rubla 20% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (s.t. suurendab võlga 20%), seejärel teeb Stepan pangale makse. Stepan tasus kogu võla 3 võrdse maksega. Mitu rubla annaks ta pangale vähem, kui saaks 2 võrdse maksega võla ära maksta.

Meie ees on probleem laenudega, seega paneme kirja oma valemi:

\[\]\

Mida me teame? Esiteks teame krediidi kogusummat. Teame ka protsente. Leiame suhte:

Mis puudutab $n$, siis peate hoolikalt läbi lugema probleemi olukorra. See tähendab, et kõigepealt peame arvutama, kui palju ta maksis kolme aasta eest, st $ n = 3 $, ja seejärel tegema uuesti samad toimingud, kuid arvutama kahe aasta maksed. Kirjutame võrrandi juhuks, kui makset makstakse kolme aasta eest:

Lahendame selle võrrandi. Kuid kõigepealt leiame avaldise $((1,2)^(3))$:

\[\begin(joona)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(joonda)\]

Kirjutame oma väljendi ümber:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1) (0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(joonda)\]

Kokku on meie makse 1900800 rubla. Kuid pange tähele: ülesandes pidime leidma mitte kuumakse, vaid selle, kui palju Stepan kokku maksab kolme võrdse makse eest, see tähendab kogu laenu kasutamise perioodi eest. Seetõttu tuleb saadud väärtus uuesti korrutada kolmega. Loeme:

Kokku maksab Stepan kolme võrdse makse eest 5 702 400 rubla. Nii palju läheb tal kolmeks aastaks laenu kasutamine maksma.

Mõelge nüüd teisele olukorrale, kus Stepan võttis end kokku, valmistus ja maksis kogu laenu mitte kolme, vaid kahe võrdse maksega. Kirjutame üles sama valemi:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(joonda)\]

Kuid see pole veel kõik, sest nüüd oleme kahest maksest välja arvutanud ainult ühe, nii et kokku maksab Stepan täpselt kaks korda rohkem:

Suurepärane, nüüd oleme lõplikule vastusele lähedal. Kuid pöörake tähelepanu: me pole mingil juhul veel lõplikku vastust saanud, sest kolme aasta maksete eest maksab Stepan 5 702 400 rubla ja kahe aasta maksete eest 5 241 600 rubla, see tähendab veidi vähem. Kui palju vähem? Selle väljaselgitamiseks peate esimese makse summast lahutama teise makse summa:

Lõplik vastus kokku on 460 800 rubla. Kui palju Stepan täpselt säästab, kui ta ei maksa kolm, vaid kaks aastat.

Nagu näha, lihtsustab intresse, tingimusi ja makseid siduv valem võrreldes klassikaliste tabelitega tunduvalt arvutusi ja kahjuks kasutatakse teadmata põhjustel enamikes probleemkogudes siiski tabeleid.

Eraldi juhin tähelepanu tähtajale, milleks laenu võeti, ja kuumaksete suurusele. Fakt on see, et see seos ei ole meie üleskirjutatud valemitest otseselt nähtav, kuid selle mõistmine on vajalik eksamil esinevate tegelike probleemide kiireks ja tõhusaks lahendamiseks. Tegelikult on see suhe väga lihtne: mida pikemaks ajaks laenu võetakse, seda väiksem on igakuiste maksete summa, kuid seda suurem summa koguneb kogu laenu kasutamise perioodi peale. Ja vastupidi: mida lühem on tähtaeg, seda suurem on kuumakse, kuid väiksem on lõplik enammakse ja laenu kogumaksumus.

Loomulikult on kõik need väited võrdsed ainult tingimusel, et laenusumma ja intressimäär on mõlemal juhul samad. Üldiselt pidage praegu meeles seda fakti - seda kasutatakse selle teema kõige keerulisemate probleemide lahendamiseks, kuid praegu analüüsime lihtsamat probleemi, kus peate lihtsalt leidma algse laenu kogusumma.

Näide nr 3

Niisiis, üks laenuülesanne veel ja üheskoos viimane ülesanne tänases videoõpetuses.

31. detsembril 2014 võttis Vassili pangast krediidina välja teatud summa 13% aastas. Laenu tagasimakse skeem on järgmine: iga järgmise aasta 31. detsembril kogub pank ülejäänud võlasummalt intressi (see tähendab, et see suurendab võlga 13%), seejärel kannab Vassili panka 5 107 600 rubla. Millise summa Vassili pangast laenas, kui maksis võla tagasi kahes võrdses osas (kahe aasta jooksul)?

Nii et esiteks on see probleem jällegi laenudega seotud, seega paneme kirja oma imelise valemi:

Vaatame, mida me probleemi olukorrast teame. Esiteks, makse - see on 5 107 600 rubla aastas. Teiseks protsendid, et leiame suhte:

Lisaks võttis Vassili vastavalt probleemi seisukorrale pangast kaheks aastaks laenu, s.o. makstakse kahes võrdses osas, seega $n=2$. Asendame kõik ära ja paneme ka tähele, et laen on meile tundmatu, st. summa, mille ta võttis, ja tähistame seda kui $x$. Saame:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Kirjutame oma võrrandi seda fakti silmas pidades ümber:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(joonda)\]

See on kõik, see on lõplik vastus. Just selle summa võttis Vassili kohe alguses laenu.

Nüüd on selge, miks selle probleemi puhul palutakse meil laenu võtta vaid kaheks aastaks, sest siin ilmuvad kahekohalised intressimäärad, nimelt 13%, mis ruudus annab juba üsna “julma” numbri. Kuid see pole piir - järgmises eraldi õppetunnis käsitleme keerukamaid ülesandeid, kus on vaja leida laenutähtaeg ja intressimäär on üks, kaks või kolm protsenti.

Üldiselt õppige lahendama hoiuste ja laenudega seotud probleeme, valmistuge eksamiteks ja sooritage need "suurepäraselt". Ja kui midagi pole tänase videotunni materjalides selge, siis ärge kõhelge - kirjutage, helistage ja ma proovin teid aidata.