Tâche 17 profil d'examen comment résoudre. USE en Mathématiques (profil)

Le 15 avril, il est prévu de contracter un emprunt d'un montant de 900 000 roubles auprès de la banque pendant 11 mois.
Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de p% par rapport à la fin du mois précédent ;

- le 15 de chaque mois du 1er au 10e mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15e jour du mois précédent ;
- le 15e jour du 10e mois, la dette s'élevait à 200 000 roubles;
- Au 15e jour du 11e mois, la dette doit être entièrement remboursée.
Trouvez p si le montant total payé à la banque était de 1021 000 roubles.

Le 15 avril, il est prévu de contracter un emprunt bancaire de 700 000 roubles pour (n + 1) mois.
Les conditions de son retour sont les suivantes :

- du 2 au 14 de chaque mois, il faut régler une partie de la dette en un seul versement ;
- Le 15 de chaque mois du 1er au énième mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent ;
- le 15e jour du nième mois, la dette s'élevait à 300 000 roubles;
- au 15ème jour du (n + 1)ème mois, la dette doit être entièrement remboursée.
Trouvez n si le montant total payé à la banque était de 755 000 roubles.

Le 15 août, il est prévu de contracter un emprunt d'un montant de 1 100 000 roubles auprès d'une banque pendant 31 mois.
Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 2% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, il faut régler une partie de la dette en un seul versement ;
- le 15 de chaque mois du 1er au 30, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent ;
- au 15e jour du 31e mois, la dette doit être intégralement remboursée.
Combien de milliers de roubles est la dette le 15e jour du 30e mois, si le montant total payé à la banque est de 1 503 000 roubles ?

Le 15 mars, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour un certain montant pendant 11 mois.
Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 1% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, il faut régler une partie de la dette en un seul versement ;
- Le 15 de chaque mois du 1er au 10, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent ;
- le 15e jour du 10e mois, la dette s'élèvera à 300 000 roubles;

Quel montant est-il prévu d'emprunter si le montant total des paiements après son remboursement intégral est de 1388 000 roubles?

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt auprès de la banque pour 11 mois.
Les conditions de son retour sont les suivantes :


- Le 15 de chaque mois du 1er au 10, la dette doit être inférieure de 80 000 roubles à la dette du 15 du mois précédent;
- au 15e jour du 11e mois, le prêt doit être entièrement remboursé.
Quelle sera la dette le 15e jour du 10e mois si le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt est de 1198 000 roubles?

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt bancaire d'un montant de 300 000 roubles sur 21 mois. Les conditions de retour sont :

- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois du 1er au 20, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent ;
- le 15e jour du 20e mois, la dette s'élèvera à 100 000 roubles;

Trouver le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt.

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt bancaire de 1 000 000 de roubles pour (n+1) mois. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- le 1er jour de chaque mois, la dette augmente de r% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois, du 1er au n, la dette doit être inférieure de 40 000 roubles à la dette du 15 du mois précédent;
- Le 15e jour du nième mois, la dette s'élèvera à 200 000 roubles;
- au 15ème jour du (n + 1)ème mois, le prêt doit être intégralement remboursé.
Trouvez r si l'on sait que le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt sera de 1378 000 roubles.

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt auprès de la banque pour 21 mois. Les conditions de retour sont :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 3% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois du 1er au 20, la dette doit être inférieure de 30 000 roubles à la dette du 15 du mois précédent;
- au 15e jour du 21e mois, le prêt doit être entièrement remboursé.
Quel montant est-il prévu d'emprunter si le montant total des paiements après son remboursement intégral est de 1 604 000 roubles ?

Le 25 mai, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour 1,5 an. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 7% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 1er au 10 de chaque mois il faut payer une partie de la dette ;
- Le 25 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 25 du mois précédent.
Quel montant doit être versé à la banque si le paiement mensuel moyen pour toute la durée du prêt est de 18 500 roubles ?

L'usine de meubles produit des bibliothèques et des buffets. Une bibliothèque nécessite 4/3 m^2 de panneaux de particules, 4/3 m^2 de planches de pin et 2/3 heures-homme de temps de travail. Pour la fabrication d'un buffet, 2 m ^ 2 de panneaux de particules, 1,5 m ^ 2 de panneaux de pin et 2 heures de travail sont dépensés. Le bénéfice de la vente d'une bibliothèque est de 500 roubles et d'un buffet - 1200 roubles. En un mois, l'usine dispose de : 180 m^2 de panneaux de particules, 165 m^2 de planches de pin et 160 heures de travail. Quel est le bénéfice mensuel maximum attendu ?

Certaines entreprises fabriquent des produits de deux types - A et B, en utilisant trois types de ressources : M, N et K. Les taux d'utilisation des ressources et leurs réserves sont indiqués dans le tableau.

Il est nécessaire de déterminer le revenu maximal possible de l'entreprise lors de la vente de produits, si les prix des produits A et B sont respectivement de 1500 et 900 roubles par unité du produit correspondant. Donnez votre réponse en milliers de roubles.

Les garçons de trois onzièmes ont acheté des fleurs pour les filles pour les vacances du 8 mars. Si chaque fille de la première classe reçoit 3 fleurs, chaque fille de la deuxième classe reçoit 5 fleurs et chaque fille de la troisième classe reçoit 7 fleurs, alors au moins 40 et au plus 50 fleurs seront nécessaires.

Si chaque fille de la première classe reçoit 5 fleurs, chaque fille de la deuxième classe reçoit 7 fleurs et chaque fille de la troisième classe reçoit 3 fleurs, alors il faudra le même nombre de fleurs qu'il faut pour donner à chacune fille de la première classe 7 fleurs, donner à chaque fille de la deuxième classe 3 fleurs et donner à chaque fille de troisième année 5 fleurs. Trouver le nombre total de filles en 11e si l'on sait qu'il y a plus de filles en 3e qu'en 2e.

Le montant de l'acompte est majoré le premier jour de chaque mois de 2% par rapport au montant du premier jour du mois précédent. De même, le prix d'une brique a augmenté de 36% par mois. Reportant l'achat de briques, le 1er mai, un certain montant a été déposé à la banque. Combien de pour cent de moins dans ce cas pouvez-vous acheter une brique le 1er juillet de la même année pour le montant total reçu de la banque, plus les intérêts ?

En préparation du Nouvel An, il a été décidé d'acheter plusieurs décorations pour arbres de Noël de deux types, à condition que le coût des décorations de types différents ne diffère pas de plus de 2 roubles. Si vous achetez 7 décorations du premier type et 8 du second, vous devrez débourser plus de 165 roubles. Si vous achetez 8 décorations du premier type et 7 du second, vous devrez débourser moins de 165 roubles. Trouvez le coût de chaque type de décoration.

Les garçons des deux classes de onzième ont acheté des fleurs pour les filles pour les vacances du 8 mars. Si chaque fille de première classe reçoit 3 fleurs et que chaque fille de deuxième classe reçoit 7 fleurs, moins de 70 fleurs seront nécessaires. Si chaque fille de la première classe reçoit 7 fleurs et que chaque fille de la deuxième classe reçoit 3 fleurs, alors plus de 70 fleurs seront nécessaires. Trouvez le nombre de filles en 11e année si le nombre de filles dans les classes diffère de moins de trois.

L'usine dispose de trois types de lignes d'assemblage : A, B, C. Deux types de produits sont fabriqués sur chacune d'elles. Le nombre de produits de chaque type fabriqués par chaque ligne est présenté dans le tableau.

Dans le cadre du contrat, 1030 produits du premier type et 181 produits du second type devraient être fabriqués. Quel est le plus petit nombre de lignes d'assemblage pouvant être utilisées ?

Trois types d'avions volent entre les villes A et B, pour lesquels les possibilités de transport de passagers et de conteneurs de fret sont présentées dans le tableau

Selon les termes du contrat, 1 790 passagers et 195 conteneurs de fret doivent être transportés. Trouvez le plus petit nombre d'avions requis.

Le minerai est extrait dans deux mines : 100 tonnes par jour dans la première mine, 220 tonnes par jour dans la seconde mine. Le minerai extrait est traité dans deux usines. Le premier est capable de traiter pas plus de 200 tonnes de minerai par jour, et le second - pas plus de 250 tonnes de minerai par jour. Le coût du transport d'une tonne de minerai de la mine à l'usine est présenté dans le tableau.

Trouvez les frais de port les plus bas.

Le déposant a décidé de placer 1 000 000 roubles à la banque pour une période d'un an. La banque propose deux stratégies : la première consiste à accumuler 7 % par an si le dépôt est placé dans son intégralité. Soit il est proposé de diviser la contribution en trois parties. Ensuite, 15 % par an seront facturés sur la plus petite partie, 10 % sur la partie médiane et 5 % par an sur la plus grande partie. Quel est le profit maximum qu'un investisseur peut recevoir si la plus grande partie doit différer de la plus petite partie d'au moins 100 000 roubles, mais pas plus de 300 000 roubles ?

L'emprunteur a prélevé un montant égal à 691 000 roubles auprès de la banque pendant 3 ans, à 10% par an, à condition que le deuxième paiement soit deux fois le premier et le troisième - trois fois le premier, et que les paiements soient effectués après accumulation intérêts sur le solde du prêt. Quel était le montant du premier versement ?

Le 16 novembre, Nikita a emprunté 1 million de roubles à une banque. pour six mois. Les modalités de remboursement du prêt sont les suivantes :

Le 28 de chaque mois, la dette augmente de 10% par rapport au 16 du mois en cours ;

Du 1er au 10 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

En cas de retard de paiement (de 1 à 5 jours), des pénalités sont facturées en sus : pour chaque jour de retard, 1% du montant qui devait être payé dans le mois en cours ;

Le 16 de chaque mois, la dette doit s'élever à un certain montant conformément au tableau :

Déterminez combien de milliers de roubles Nikita paiera à la banque en plus du prêt contracté, s'il est connu qu'il a effectué des paiements les 7 décembre, 12 janvier, 10 février, 9 mars, 1er avril et 15 mai.

Larin 17) Ivan Petrovich a reçu un prêt d'une banque à un certain pourcentage par an. Un an plus tard, en remboursement du prêt, il a rendu à la banque 1/6 du montant total qu'il devait à la banque à ce moment-là. Et un an plus tard, en raison du remboursement intégral du prêt, Ivan Petrovich a versé à la banque un montant supérieur de 20% au montant du prêt reçu. Quel est le pourcentage annuel d'un prêt dans cette banque ?

Deux boîtes contiennent des crayons : la première est rouge, la seconde est bleue, d'ailleurs il y avait moins de rouges que de bleus. Premièrement, 40% des crayons de la première boîte ont été transférés dans la seconde. Ensuite, 20% des crayons qui se sont retrouvés dans la deuxième boîte ont été transférés dans la première, et la moitié des crayons transférés étaient bleus. Après cela, il y avait 26 crayons rouges de plus dans la première boîte que dans la seconde, et le nombre total de crayons dans la deuxième boîte a augmenté de plus de 5 % par rapport à celui d'origine. Trouvez le nombre total de crayons bleus.

En juillet, Viktor prévoit de contracter un emprunt de 2,5 millions de roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 20 % par rapport au préservatif de l'année précédente ;

De février à juin de chaque année, Victor doit rembourser une partie de la dette.

Quel est le nombre minimum d'années pendant lesquelles Victor peut contracter un prêt, de sorte que les paiements annuels ne dépassent pas 760 000 roubles?

Après combien d'années complètes Sergei aura-t-il au moins 950 000 roubles sur son compte s'il a l'intention de déposer 260 000 roubles sur le compte chaque année, à condition que la banque accumule une fois par an le 31 décembre 10% du montant disponible.

Mitrofan veut emprunter 1,7 million de roubles. Le prêt est remboursé une fois par an en montants égaux (sauf, peut-être, le dernier) après déduction des intérêts. Le taux d'intérêt est de 10% par an. Quel est le nombre minimum d'années pour lesquelles Mitrofan peut contracter un prêt, de sorte que les paiements annuels ne dépassent pas 300 000 roubles ?

Le 31 décembre 2016, Vasily a emprunté 5 460 000 roubles à une banque à 20 % par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant - le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 20%), puis Vasily transfère x roubles à la banque. Quel devrait être le montant pour que Vasily rembourse la dette en trois versements égaux (c'est-à-dire pendant trois ans) ?

En août, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour un certain montant. Les conditions de son retour sont les suivantes :

De février à juillet de chaque année, il est nécessaire de payer une partie de la dette, égale à 1080 000 roubles. Combien de milliers de roubles ont été retirés de la banque si l'on sait que le prêt a été entièrement remboursé en trois versements égaux (c'est-à-dire pendant 3 ans)?

Le fonds de pension détient des titres d'une valeur de [b]10t mille roubles à la fin de l'année t (t = 1;2;3;...). À la fin de chaque année, le fonds de pension peut vendre des titres et déposer de l'argent sur un compte bancaire, tandis qu'à la fin de chaque année suivante, le montant du compte augmentera de 1 + r fois. Le fonds de pension veut vendre des titres à la fin d'une telle année afin qu'à la fin de la vingt-cinquième année, le montant sur son compte soit le plus élevé. Les calculs ont montré que pour cela les titres doivent être vendus strictement à la fin de la onzième année. Pour quelles valeurs positives de r est-ce possible ?

Vadim est propriétaire de deux usines dans des villes différentes. Les usines produisent exactement les mêmes biens en utilisant les mêmes technologies. Si les travailleurs de l'une des usines travaillent un total de t^2 heures par semaine, ils produisent alors t unités de biens au cours de cette semaine. Pour chaque heure de travail dans une usine située dans la première ville, Vadim paie un ouvrier 500 roubles et dans une usine située dans la deuxième ville, 300 roubles. Vadim est prêt à allouer 1 200 000 roubles par semaine pour payer les travailleurs. Quel est le nombre maximum d'unités de marchandises pouvant être produites en une semaine dans ces deux usines ?

En juillet 2016, Inga prévoit de contracter un emprunt sur six ans d'un montant de 4,2 millions de roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :

En juillet 2017, 2018, 2019 et 2020, la dette reste égale à 4,2 millions de roubles ;

Les paiements en 2021 et 2022 sont égaux ;

D'ici juillet 2022, la dette sera entièrement payée.

Combien de millions de roubles le dernier paiement sera-t-il supérieur au premier ?

En juillet 2016, Timur envisage de contracter un emprunt bancaire de quatre ans d'un montant de S millions de roubles, où S est un nombre entier. Les conditions de retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 15 % par rapport à la fin de l'année précédente ;

Le paiement doit être effectué une fois par an de février à juin;

Au mois de juillet de chaque année, la dette doit faire partie de l'emprunt conformément au tableau suivant :

Trouvez la plus grande valeur de S pour laquelle le montant total des paiements de Timur sera inférieur à 30 millions de roubles.

En juillet 2020, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque d'un montant de 400 000 roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de r % par rapport à la fin de l'année précédente ;

Trouvez le nombre r si l'on sait que le prêt a été entièrement remboursé en deux ans et que la première année, 330 000 roubles ont été transférés et la deuxième année, 121 000 roubles.

En juillet 2020, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour un certain montant. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 20 % par rapport à la fin de l'année précédente ;

De février à juin de chaque année, il faut régler une partie de la dette en un seul versement

Combien de roubles ont été prélevés à la banque si l'on sait que le prêt a été entièrement remboursé en trois versements égaux (c'est-à-dire pendant 3 ans) et que le montant des paiements dépasse de 77 200 roubles le montant prélevé à la banque?

En juillet, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour un certain montant. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de r% par rapport à la fin de l'année précédente ;

De février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée

Trouvez r si l'on sait que si vous payez 777 600 roubles chacun, alors le prêt sera remboursé en 4 ans, et si vous payez 1 317 600 roubles chaque année, alors le prêt sera entièrement remboursé en 2 ans ?

En juillet, il est prévu de contracter un emprunt bancaire d'un montant de 18 millions de roubles pour une certaine période (un nombre entier d'années). Les conditions de son retour sont les suivantes :
- chaque mois de janvier la dette augmente de 10% par rapport à la fin de l'année précédente ;


Pendant combien d'années le prêt a-t-il été contracté si l'on sait que le montant total des paiements après son remboursement était de 27 millions de roubles?

En juillet, il est prévu de contracter un emprunt bancaire d'un montant de 9 millions de roubles pour une certaine période (un nombre entier d'années). Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 20 % par rapport à la fin de l'année précédente ;
- de février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée ;
- en juillet de chaque année, la dette doit être du même montant inférieur à la dette en juillet de l'année précédente.

Quel sera le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt, si le paiement annuel le plus élevé est de 3,6 millions de roubles ?

En juillet 2026, il est prévu de contracter auprès d'une banque un emprunt d'une durée de trois ans d'un montant de S millions de roubles, où S est un nombre entier. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 20% par rapport à la fin de l'année précédente

De février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée en un seul versement

En juillet de chaque année, la dette doit faire partie de l'emprunt conformément au tableau suivant

Trouvez la plus grande valeur de S, à laquelle chacun des paiements sera inférieur à 5 millions de roubles.

Le fonds de pension détient des titres d'une valeur de t^2 roubles. à la fin de chaque année t(t=1;2...) à la fin de n'importe quelle année, le fonds de pension peut vendre des titres et déposer de l'argent sur un compte bancaire, tandis qu'à la fin de chaque année suivante, le montant sur le compte augmentera de (1+ r) une fois. Le fonds de pension veut vendre des titres à la fin d'une année de sorte qu'à la fin de la vingt-cinquième année, le montant de son compte soit le plus élevé. Les calculs ont montré que pour cela, les titres doivent être vendus strictement à la fin de la vingt-cinquième année. -Première année. Pour quel r positif est-ce possible ?

Le zoo distribue 111 kg. viande entre renards, léopards et lions. Chaque renard a droit à 2 kg. viande, léopard - 14 kg., Lion 21 kg. On sait que chaque lion a 230 visiteurs par jour, chaque léopard en a 160, chaque renard en a 20. Combien de renards, de léopards et de lions devrait-il y avoir dans le zoo pour que le nombre de visiteurs pour ces animaux soit le plus grand quotidiennement ?

Lors de l'assemblée des actionnaires, il a été décidé d'augmenter les bénéfices de l'entreprise en élargissant la gamme de produits. L'analyse économique a montré que

1) le revenu supplémentaire attribuable à chaque nouveau type de produit sera égal à 70 millions de roubles. dans l'année;

2) les coûts supplémentaires pour le développement d'un nouveau type s'élèveront à 11 millions de roubles. par an, et le développement de chaque type ultérieur nécessitera 7 millions de roubles. par an plus de dépenses que le développement de la précédente. Trouvez la valeur de l'augmentation maximale possible du profit.

Un citoyen a déposé 1 million de roubles dans une banque pendant 4 ans. À la fin de chaque année, 10 % sont prélevés sur le montant sous-jacent. Il a décidé à la fin de chacune des 3 premières années (après intérêts) de retirer la même somme d'argent. Ce montant devrait être tel qu'après 4 ans après l'accumulation des intérêts pour la 4ème année, il aurait au moins 1 200 000 roubles sur son compte. Quel est le montant maximum qu'un citoyen peut retirer ? Arrondissez votre réponse au millier inférieur.

Sasha et Pacha ont chacun mis 100 000 roubles. à la banque à 10% par an pendant une période de trois ans. Dans le même temps, Pacha a retiré n mille roubles un an plus tard. (n est un entier), et un an plus tard, il rapporta à nouveau n mille roubles. à votre compte. Pour ce qui est la plus petite valeur de n en trois ans, la différence entre les montants du compte de Sasha et Pacha sera d'au moins 3 000 roubles.

Il est prévu d'émettre un emprunt d'un nombre entier de millions de roubles sur 5 ans. Au milieu de chaque année de prêt, la dette de l'emprunteur augmente de 10% par rapport au début de l'année. À la fin des 1ère, 2ème et 3ème années, l'emprunteur ne paie que les intérêts du prêt, laissant la dette égale à l'original. À la fin des 4e et 5e années, l'emprunteur paie le même montant, remboursant intégralement la dette. Trouvez le montant du prêt le plus élevé auquel le montant total des paiements de l'emprunteur sera inférieur à 6 millions de roubles.

L'agriculteur dispose de deux champs, chacun d'une superficie de 10 hectares. Les pommes de terre et les betteraves peuvent être cultivées dans chaque champ, et les champs peuvent être répartis entre ces cultures dans n'importe quelle proportion. Le rendement en pommes de terre dans le premier champ est de 300 c/ha, et dans le second de 200 c/ha. Le rendement de betteraves dans le premier champ est de 200 c/ha et dans le second de 300 c/ha.

Un agriculteur peut vendre des pommes de terre au prix de 10 000 roubles. pour cent et betteraves - au prix de 18 000 roubles. par centième. Quel est le revenu maximum qu'un agriculteur peut gagner ?

À la veille du Nouvel An, les pères Noël ont disposé des quantités égales de bonbons dans des sacs-cadeaux, et ces sacs ont été mis dans des sacs, 2 sacs dans un sac. Ils pourraient disposer les mêmes bonbons dans des sacs afin que chacun d'eux ait 5 bonbons de moins qu'auparavant, mais alors chaque sac contiendrait 3 sacs, et 2 sacs de moins seraient nécessaires. Quel est le plus grand nombre de bonbons que le Père Noël pourrait disposer ?

La première voiture a conduit du point A au point B à une vitesse de 80 km/h, et après un certain temps à une vitesse constante - la seconde. Après s'être arrêtée 20 minutes au point B, la seconde voiture repart à la même vitesse. Après 48 km, il a rencontré la première voiture venant vers lui, et se trouvait à une distance de 120 km de B au moment où la première voiture est arrivée au point B. Trouver la distance de A au lieu de la première rencontre si la distance entre les points A et B est de 480 km.

Le magasin a reçu des marchandises des grades I et II pour un total de 4,5 millions de roubles. Si toutes les marchandises sont vendues au prix de la deuxième année, les pertes s'élèveront à 0,5 million de roubles, et si toutes les marchandises sont vendues au prix de la première année, un bénéfice de 0,3 million de roubles sera reçu. Pour quel montant les marchandises des grades I et II ont-elles été achetées séparément ?

Deux mines produisent de l'aluminium et du nickel. Dans la première mine, il y a 80 ouvriers, chacun étant prêt à travailler 5 heures par jour. Dans le même temps, un ouvrier produit 1 kg d'aluminium ou 2 kg de nickel par heure. Dans la deuxième mine, il y a 200 ouvriers, chacun étant prêt à travailler 5 heures par jour. Dans le même temps, un ouvrier produit 2 kg d'aluminium ou 1 kg de nickel par heure.

Les deux mines fournissent le métal extrait à l'usine, où un alliage d'aluminium et de nickel est produit pour les besoins de l'industrie, dans lequel 2 kg d'aluminium représentent 1 kg de nickel. Dans le même temps, les mines s'entendent entre elles pour extraire les métaux afin que l'usine puisse produire la plus grande quantité d'alliages. Combien de kilogrammes d'alliage dans de telles conditions l'usine peut-elle produire quotidiennement ?

Certaines entreprises entraînent des pertes s'élevant à 300 millions de roubles. dans l'année. Pour en faire un produit rentable, il a été proposé d'augmenter la gamme de produits. Les calculs ont montré que le revenu supplémentaire attribuable à chaque nouveau type de produit s'élèvera à 84 millions de roubles. par an, et les coûts supplémentaires seront égaux à 5 millions de roubles. par an avec le développement d'une nouvelle espèce, mais le développement de chacune des suivantes nécessitera 5 millions de roubles. par an plus de dépenses que le développement de la précédente. Quel est le nombre minimum de types de nouveaux produits à maîtriser pour que l'entreprise devienne rentable ? Quel est le plus gros profit annuel que l'entreprise peut réaliser en élargissant la gamme de produits ?

Le coût de développement d'une version électronique du manuel
une édition est égale à 800 mille roubles. Dépenses
pour la production de x milliers de ces manuels électroniques
dans cette maison d'édition sont (x^2+6x+22100) mille roubles
dans l'année. Si les manuels sont vendus au prix de Rs. pour une unité,
alors le bénéfice de l'éditeur pour un an sera de ax-(x^2+6x+22100).
La maison d'édition publiera des manuels en telle quantité,
pour maximiser les profits. Quelle est la plus petite valeur d'un
Le développement du manuel sera-t-il payant dans moins de 2 ans ?

Le 16 novembre, les jumeaux Sasha et Pacha ont contracté un prêt bancaire de 500 000 roubles. chacun pendant quatre mois. Les modalités de remboursement du prêt sont les suivantes :

Le 28 de chaque mois, la dette augmente de 10% par rapport au 16 du mois en cours ;

Du 1er au 15 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ; Au 16 de chaque mois, la dette doit s'élever à un certain montant conformément au tableau proposé pour chacune d'entre elles :

Lequel des frères paiera à la banque le plus petit montant en quatre mois ? Combien de roubles ?

Le 1er mars 2016, Valery a déposé 100 000 roubles à la banque. à 10% par an pendant une période de 4 ans. Dans deux ans, il prévoit de retirer n mille roubles de son compte. (n est un nombre entier) de sorte qu'au 1er mars 2020, il ait au moins 130 000 roubles sur son compte. Quel est le montant maximum que Valéry peut retirer de son compte au 1er mars 2018 ?

Deux piétons marchent l'un vers l'autre : l'un de A à B, et l'autre de B à A. Ils sont partis en même temps, et quand le premier a fait la moitié du chemin, le second avait encore 1h30 à faire, et quand le second parcouru la moitié du chemin, puis le premier Il restait encore 45 minutes à parcourir. Combien de minutes plus tôt le premier piéton terminera-t-il son trajet que le second ?

Début janvier 2017, il est prévu de contracter auprès d'une banque un emprunt de S millions de roubles, où S est un entier, pendant 4 ans. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de juillet, la dette augmente de 10 % par rapport au début de l'année en cours ;
- d'août à décembre de chaque année, une partie de la dette doit être payée ;
- en janvier de chaque année, la dette doit faire partie de l'emprunt conformément au tableau suivant :

Trouvez la plus grande valeur de S, à laquelle la différence entre les paiements les plus importants et les plus petits ne dépassera pas 2 millions de roubles.

Pour le dépôt Classic, la banque prévoit d'accumuler 12% par an à la fin de chaque année, et pour le dépôt Bonus - d'augmenter le montant du dépôt de 7% la première année et du même entier n pour cent les années suivantes.

Trouver la plus petite valeur de n à laquelle, sur 4 ans de stockage, le dépôt "Bonus" sera plus rentable que le dépôt "Classique" à montants égaux d'apports initiaux.

En mai 2017, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour six ans d'un montant de S millions de roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque décembre de chaque année, la dette augmente de 10 % ;
- de janvier à avril de chaque année, une partie de la dette doit être payée ;
- en mai 2018, 2019 et 2020, la dette reste égale à S millions de roubles ;
- les versements en 2021, 2022 et 2023 sont égaux ;
- d'ici mai 2023, la dette sera entièrement payée.

Trouvez le plus petit entier S pour lequel le montant total des paiements ne dépasse pas 13 millions de roubles.

46 personnes se sont inscrites au premier cursus de la spécialité "Equipements et Machines" : 34 garçons et 12 filles. Ils sont divisés en deux groupes de 22 et 24, avec au moins une fille dans chaque groupe. Quelle devrait être la répartition par groupes pour que la somme des nombres égale au pourcentage de filles dans les premier et deuxième groupes soit la plus grande ?

Leo a contracté un prêt bancaire pour une durée de 40 mois. Selon l'accord, Leo doit rembourser le prêt par mensualités. À la fin de chaque mois, p % de ce montant est ajouté au montant restant de la dette, suivi du paiement de Leo.

Les mensualités sont choisies de manière à ce que la dette diminue uniformément.

On sait que le paiement le plus important de Leo était 25 fois inférieur au montant initial de la dette. Trouvez p.

Le 18 décembre 2015, Andrey a emprunté 85 400 roubles à la banque à 13,5% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 18 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette, puis Andrey transfère X roubles à la banque. Quel devrait être le montant X pour qu'Andreï rembourse intégralement la dette en deux versements égaux ?

Ivan veut emprunter 1 million de roubles. Le prêt est remboursé une fois par an en montants égaux (sauf, peut-être, le dernier) après déduction des intérêts. Taux d'intérêt 10% par an. Quel est le nombre minimum d'années qu'Ivan peut contracter pour que les paiements annuels ne dépassent pas 250 000 roubles ?

Le 1er février 2016, Andrei Petrovich a contracté un prêt de 1,6 million de roubles auprès de la banque. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 1er jour de chaque mois suivant, la banque prélève 1% sur le montant restant de la dette, puis Andrey Petrovich transfère le paiement à la banque. Quel est le nombre minimum de mois dont Andrei Petrovich a besoin pour contracter un prêt afin que les paiements mensuels ne dépassent pas 350 000 roubles?

Le 12 novembre 2015, Dmitry a emprunté 1 803 050 roubles à une banque à 19% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 12 novembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette, puis Dmitry transfère X roubles à la banque. Quel devrait être le montant X pour que Dmitry rembourse intégralement la dette en trois versements égaux ?

Sur deux autoroutes mutuellement perpendiculaires en direction de leur intersection, deux voitures se mettent simultanément en mouvement : l'une à une vitesse de 80 km/h, l'autre à 60 km/h. Au moment initial, chaque voiture est à une distance de 100 km de l'intersection. Déterminez le temps après le début du mouvement, après quoi la distance entre les voitures sera la plus petite. Quelle est cette distance ?

Arkady, Semyon, Efim et Boris ont créé une société au capital social de 200 000 roubles. Arkady a apporté 14% du capital autorisé, Semyon - 42 000 roubles, Efim - 12% du capital autorisé et Boris a apporté le reste du capital. Les fondateurs ont convenu de partager le bénéfice annuel au prorata de la contribution apportée au capital autorisé. Quel montant du bénéfice de 500 000 roubles revient à Boris ? Donnez votre réponse en roubles.

Dans deux régions, il y a 250 ouvriers chacun, chacun étant prêt à travailler 5 heures par jour dans l'extraction de l'aluminium ou du nickel. Dans la première région, un travailleur produit 0,2 kg d'aluminium ou 0,1 kg de nickel par heure. Dans le deuxième domaine, il faut x^2 heures-homme de travail pour extraire x kg d'aluminium par jour, et y^2 heures-homme de travail pour extraire y kg de nickel par jour.

Dans deux régions, il y a 50 ouvriers chacun, chacun étant prêt à travailler 10 heures par jour dans l'extraction de l'aluminium ou du nickel. Dans la première région, un travailleur produit 0,2 kg d'aluminium ou 0,1 kg de nickel par heure. Dans le deuxième domaine, il faut x^2 heures-homme de travail pour extraire x kg d'aluminium par jour, et y^2 heures-homme de travail pour extraire un kg de nickel par jour.

Les deux régions fournissent le métal extrait à l'usine, où un alliage d'aluminium et de nickel est produit pour les besoins de l'industrie, dans laquelle 1 kg d'aluminium représente 2 kg de nickel. Parallèlement, les régions s'entendent entre elles pour extraire les métaux afin que l'usine puisse produire la plus grande quantité d'alliage. Combien de kilogrammes d'alliage dans de telles conditions l'usine peut-elle produire quotidiennement ?

Timofey veut emprunter 1,1 million de roubles. Le prêt est remboursé une fois par an en montants égaux (sauf, peut-être, le dernier) après déduction des intérêts. Le taux d'intérêt est de 10% par an. Quel est le nombre minimum d'années pendant lesquelles Timofey peut contracter un prêt, de sorte que les paiements annuels ne dépassent pas 270 000 roubles ?

Galina a contracté un prêt de 12 millions de roubles pour une période de 24 mois. Selon l'accord, Galina doit rendre une partie de l'argent à la banque à la fin de chaque mois. Chaque mois, le montant total de la dette augmente de 3%, puis diminue du montant payé par Galina à la banque à la fin du mois. Les montants payés par Galina sont sélectionnés de manière à ce que le montant de la dette diminue uniformément, c'est-à-dire du même montant chaque mois. Combien de roubles de plus Galina rendra-t-elle à la banque au cours de la première année de prêt par rapport à la deuxième année ?

Le 15 janvier, il est prévu de contracter un emprunt auprès de la banque pour 15 mois. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 3% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

On sait que le huitième paiement s'élevait à 99,2 mille roubles. Combien doit-on rembourser à la banque pendant toute la durée du prêt ?

Le 31 décembre 2014, Oleg a emprunté un certain montant à la banque à un certain pourcentage par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant - le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de a%), puis Oleg transfère la tranche suivante. S'il paie 328 050 roubles chaque année, il remboursera la dette en 4 ans. Si pour 587 250 roubles, alors pour 2 ans. Trouver un.

Deux piscines identiques ont simultanément commencé à se remplir d'eau. Le premier bassin reçoit 30 m^3 d'eau de plus par heure que le second. À un moment donné, dans les deux piscines réunies, il y avait autant d'eau que le volume de chacune d'elles. Après cela, après 2 heures et 40 minutes, la première piscine a été remplie, et après encore 3 heures et 20 minutes, la seconde. Quelle quantité d'eau a été fournie par heure à la deuxième piscine ? Combien de temps a-t-il fallu pour que la deuxième piscine se remplisse ?

Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 2% par rapport à la fin du mois précédent ;

Du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent.

Quel pourcentage du montant du prêt correspond au montant total d'argent qui doit être versé à la banque pour toute la durée du prêt ?

Le 20 décembre, Valery a contracté un prêt auprès d'une banque d'un montant de 500 000 roubles. pour une durée de cinq mois. Les modalités de remboursement du prêt sont les suivantes :

Le 5 de chaque mois, la dette augmente d'un entier n pour cent par rapport au mois précédent ;

Du 6 au 19 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 20 de chaque mois, la dette doit s'élever à un certain montant conformément au tableau :

Trouvez le plus petit n auquel le montant des paiements dépassant le prêt contracté (paiements d'intérêts) sera supérieur à 200 000 roubles.

Trois machines automatiques de puissance différente doivent produire 800 pièces chacune. Tout d'abord, la première machine a été lancée, après 20 minutes - la deuxième, et après 35 minutes supplémentaires - la troisième. Chacun d'eux a travaillé sans échecs ni arrêts, et au cours du travail, il y a eu un moment où chaque machine a terminé la même partie de la tâche. Combien de minutes avant que la seconde machine termine le travail de la troisième, si la première termine la tâche 1h28 après la troisième ?

Dans deux régions, il y a 90 ouvriers chacun, chacun étant prêt à travailler 5 heures par jour dans l'extraction de l'aluminium ou du nickel. Dans la première région, un travailleur produit 0,3 kg d'aluminium ou 0,1 kg de nickel par heure. Dans la deuxième région, il faut x^2 heures-homme de travail pour extraire x kg d'aluminium par jour, et y^2 heures-homme de travail pour extraire y kg de nickel par jour.

Pour les besoins de l'industrie, on peut utiliser soit l'aluminium, soit le nickel, et 1 kg d'aluminium peut être remplacé par 1 kg de nickel. Quelle est la plus grande masse de métaux pouvant être extraite dans les deux régions au total pour les besoins de l'industrie ?

En juillet 2016, il est prévu de contracter auprès d'une banque un emprunt d'une durée de trois ans d'un montant de S millions de roubles, où S est un nombre entier. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 25 % par rapport à la fin de l'année précédente ;
- de février à juin de chaque année, il faut payer une partie de la dette en un seul versement ;
- en juillet de chaque année, la dette doit faire partie de l'emprunt conformément au tableau suivant.

Trouvez la plus petite valeur de S, à laquelle chacun des paiements sera supérieur à 5 millions de roubles

Le 1er août 2016, Valery a ouvert un compte «Refill» auprès d'une banque pendant quatre ans à 10% par an, après avoir investi 100 000 roubles.

Le 1er août 2017 et le 1er août 2019, il prévoit de déclarer n mille roubles sur le compte. Trouvez le plus petit entier n tel qu'au 1er août 2020, Valéry ait au moins 200 000 roubles sur son compte.

Le 15 janvier, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque pour six mois d'un montant de 1 million de roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Le 1er jour de chaque mois, la dette augmente de r % par rapport à la fin du mois précédent, où r est un nombre entier ;

Du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 15 de chaque mois, la dette doit être d'un certain montant conformément au tableau suivant

Trouvez la plus grande valeur de r à laquelle le montant total des paiements sera inférieur à 1,2 million de roubles.

En juillet, un prêt de 8,8 millions de roubles a été contracté pour plusieurs années. Au début de chaque année suivante, le solde de la dette augmente de 25 % par rapport à la fin de l'année précédente. Avant le 1er juillet de chaque année, le client doit rembourser une partie de la dette de manière à ce que, à compter du 1er juillet, la dette soit réduite du même montant chaque année. Le dernier paiement est de 1 million de roubles. Trouver le montant total payé à la banque.

En juillet, il est prévu de contracter auprès d'une banque un emprunt d'un montant de 14 millions de roubles pour une certaine période (un nombre entier d'années). Les conditions de son retour sont les suivantes :

Chaque mois de janvier, la dette augmente de 10 % par rapport à la fin de l'année précédente ;
- de février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée ;
- en juillet de chaque année, la dette doit être du même montant inférieur à la dette en juillet de l'année précédente

Quel sera le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt, si le plus petit paiement annuel est de 3,85 millions de roubles ?

Au début de l'année, la société Zhilstroyservice choisit une banque pour recevoir un prêt parmi plusieurs banques prêtant à des taux d'intérêt différents. La société prévoit de disposer du prêt reçu comme suit : 75 % du prêt seront consacrés à la construction de chalets et les 25 % restants à la fourniture de services immobiliers à la population. Le premier projet peut générer des bénéfices d'un montant de 36% à 44% par an, et le second - de 20% à 24% par an. À la fin de l'année, l'entreprise doit restituer le prêt à la banque avec intérêts et s'attend en même temps à un bénéfice net de ces activités d'au moins 13%, mais pas plus de 21% par an du total du prêt reçu. Quels devraient être les taux d'intérêt les plus bas et les plus élevés des banques sélectionnées pour que l'entreprise se garantisse le niveau de profit ci-dessus ?

Le 15 janvier 2012, la banque a émis un prêt d'un montant de 1 million de roubles. Les conditions de son retour étaient les suivantes :
- Au 1er janvier de chaque année, la dette augmente de 1 % par rapport à la fin de l'année précédente ;
- le paiement d'une partie de la dette intervient en janvier de chaque année après intérêts courus.
Le prêt a été remboursé en deux ans, et en même temps, le montant de 600 000 roubles a été transféré la première année et 550 000 roubles la deuxième fois.
Trouver un.

La construction d'une nouvelle usine coûte 78 millions de roubles. Coûts de production x milliers d'unités. les produits d'une telle usine sont égaux à 0,5x² + 2x + 6 millions de roubles par an. Si les produits de l'usine sont vendus au prix de r mille roubles par unité, le bénéfice de l'entreprise (en millions de roubles) pour un an sera de (px - (0,5x² + 2x + 6)). Lorsque l'usine sera construite, l'entreprise produira des produits en quantités telles que les profits seront les plus élevés. À quelle valeur minimale de p la construction de la centrale sera-t-elle rentable en moins de 3 ans ?

Début 2001, Alexey a acheté un titre pour 25 000 roubles. A la fin de chaque année, le prix du papier augmente de 3 000 roubles. Au début de chaque année, Alexey peut vendre le papier et déposer le produit sur un compte bancaire. Chaque année, le montant sur le compte augmentera de 10 %. Au début de quelle année Alexeï devrait-il vendre le titre pour que quinze ans après l'achat de ce titre, le montant sur le compte bancaire soit le plus important ?

Chacune des deux usines emploie 1 800 personnes. Dans la première usine, un ouvrier produit par équipe 1 pièce A ou 2 pièces B. Dans la deuxième usine, t^2 hommes-équipes sont nécessaires pour fabriquer t pièces (à la fois A et B).

Chacune des deux usines emploie 200 personnes. Dans la première usine, un ouvrier produit par équipe 1 pièce A ou 3 pièces B. Dans la deuxième usine, t^2 hommes-équipes sont nécessaires pour fabriquer t pièces (à la fois A et B).

Ces deux usines fournissent des pièces à l'usine, à partir de laquelle elles assemblent un produit, pour la fabrication duquel 1 partie A et 1 partie B sont nécessaires. En même temps, les usines s'accordent entre elles pour produire des pièces afin que le plus grand nombre de produits peuvent être assemblés. Combien de produits dans de telles conditions l'usine peut-elle assembler par quart de travail ?

Les pièces A et B sont fabriquées dans chacune des deux usines. La première usine compte 40 personnes et un ouvrier fabrique 15 pièces A ou 5 pièces B par équipe. La deuxième usine compte 160 personnes et un ouvrier fabrique 5 pièces A ou 15 pièces par poste. shift.détails B.

Ces deux usines fournissent des pièces à l'usine, à partir de laquelle elles assemblent un produit pour la fabrication duquel il faut 2 parties A et 1 partie B. Parallèlement, les usines s'accordent entre elles pour produire des pièces afin que le plus grand nombre de produits peuvent être assemblés. Combien de produits dans de telles conditions l'usine peut-elle assembler par quart de travail ?

Pour la production d'un produit C contenant 40% d'alcool, Alexey peut acheter des matières premières auprès de deux fournisseurs A et B. Le fournisseur A propose une solution d'alcool à 90% dans des bidons de 1000 litres au prix de 100 000 roubles. pour le bidon. Le fournisseur B propose une solution d'alcool à 80 % dans des bidons de 2 000 litres au prix de 160 000 roubles. pour le bidon. Le produit B résultant est mis en bouteille dans des bouteilles de 0,5 litre. Quel est le montant minimum qu'Alexeï doit dépenser en matières premières s'il envisage de produire exactement 60 000 bouteilles de produit B ?

Le 1er mars 2016, Ivan Lvovich a mis 20 000 roubles sur un dépôt bancaire pour une période de 1 an avec un intérêt mensuel et une capitalisation à 21% par an. Cela signifie que le premier jour de chaque mois, le montant du dépôt augmente du même montant d'intérêt, calculé de manière à augmenter d'exactement 21 % en 12 mois. Dans combien de mois le montant du dépôt dépassera-t-il 22 000 roubles pour la première fois ?

Le 15 mai, l'homme d'affaires prévoyait de contracter un emprunt bancaire d'un montant de 12 millions de roubles sur 19 mois. Les conditions de son retour sont les suivantes :

Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 2% par rapport à la fin du mois précédent ;

Du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent.

Combien de pour cent de plus par rapport au prêt contracté devra payer un homme d'affaires ?

Pour la production d'un produit C contenant 40% d'alcool, Alexey peut acheter des matières premières auprès de deux fournisseurs A et B. Le fournisseur A propose une solution d'alcool à 90% dans des bidons de 1000 litres au prix de 100 000 roubles. pour le bidon. Le fournisseur B propose une solution d'alcool à 80 % dans des bidons de 2 000 litres au prix de 160 000 roubles. pour le bidon. Le produit B résultant est mis en bouteille dans des bouteilles de 0,5 litre. Quel est le montant minimum qu'Alexeï doit dépenser en matières premières s'il envisage de produire exactement 60 000 bouteilles de produit B ?

Vladimir possède deux usines de production de réfrigérateurs. La productivité de la première usine ne dépasse pas 950 réfrigérateurs par jour. La production de la deuxième usine était initialement de 95 % de celle de la première. Après la mise en service d'une ligne supplémentaire, la deuxième usine a augmenté la production de réfrigérateurs par jour d'exactement 23% du nombre de réfrigérateurs produits dans la première usine et a commencé à en produire plus de 1000. Combien de réfrigérateurs chaque usine produisait-elle par jour avant la reconstruction de la deuxième usine ?

Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 2% par rapport à la fin du mois précédent ;

Du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent.

On sait que pour le quatrième mois de prêt, vous devez payer 54 000 roubles. Combien doit-on rembourser à la banque pendant toute la durée du prêt ?

En juillet, le client a contracté un prêt d'un montant de 8,8 millions de roubles sur plusieurs années.

Les conditions de retour sont les suivantes :

Au début de chaque année suivante, le solde de la dette augmente de 25 % par rapport à la fin de l'année précédente.
- avant le 1er juillet de chaque année, le client doit restituer à la banque une partie de la dette de manière à ce que, par rapport au 1er juillet, la dette soit réduite du même montant chaque année.

On sait que le dernier paiement sera de 1 million de roubles. Trouvez le montant total des paiements que le client paiera à la banque.

Les amies Polina et Christina rêvent de devenir mannequins. Le 1er janvier, ils ont décidé de commencer à perdre du poids. Dans le même temps, le poids de Polina s'est avéré être 10% supérieur à celui de Christina.

En février, Christina va encore perdre 2 %.

A) Quel est le plus petit pourcentage entier dont Polina a besoin pour perdre du poids en février afin qu'au 1er mars son poids devienne inférieur à celui de Christina ?

B) Combien pèsera Christina fin février si l'on sait qu'au 1er janvier Polina pesait 55 kg ?

L'ouverture du gisement est prévue pour quatre ans. La contribution initiale est un nombre entier de millions de roubles. A la fin de chaque année, le dépôt augmente de 10% par rapport à sa taille au début de l'année, et, de plus, au début des troisième et quatrième années, le dépôt est reconstitué annuellement de 3 millions de roubles. Trouvez le montant le plus élevé de la contribution initiale, auquel dans quatre ans la contribution sera inférieure à 25 millions de roubles.

Chacune des deux usines emploie 20 personnes. Dans la première usine, un ouvrier produit par équipe 2 pièces A ou 2 pièces B. Dans la deuxième usine, t^2 hommes-équipes sont nécessaires pour fabriquer t pièces (à la fois A et B).

Ces deux usines fournissent des pièces à l'usine, à partir de laquelle elles assemblent un produit, pour la fabrication duquel 1 partie A et 1 partie B sont nécessaires. En même temps, les usines s'accordent entre elles pour produire des pièces afin que le plus grand nombre de produits peuvent être assemblés. Combien de produits dans de telles conditions l'usine peut-elle assembler par quart de travail ?

Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 2% par rapport à la fin du mois précédent ;

Du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent.

On sait que pour le cinquième mois (du 2 au 14 juin) de prêt, 44 000 roubles doivent être payés à la banque. Combien faut-il verser à la banque pendant toute la durée du prêt ?

L'agriculteur dispose de 2 champs, chacun d'une superficie de 10 hectares. Chaque champ peut cultiver des pommes de terre et des betteraves, le champ peut être divisé entre ces cultures dans n'importe quelle proportion. Le rendement des pommes de terre dans le premier champ est de 300 c/ha et dans le second de 200 c/ha. La récolte de betteraves dans le premier champ est de 200 c/ha et dans le second de 300 c/ha.

Un agriculteur peut vendre des pommes de terre au prix de 4 000 roubles. pour cent et betteraves - au prix de 5000 roubles. par centième. Quel est le revenu maximum qu'un agriculteur peut gagner ?

L'atelier a reçu une commande pour la fabrication de 2 000 pièces de type A et 14 000 pièces de type B. Chacun des 146 ouvriers de l'atelier consacre à la fabrication d'une pièce de type A le temps qu'il pourrait réaliser pour 2 pièces de type B. Comment les ouvriers de l'atelier soient divisés en deux équipes, afin de terminer la commande dans les plus brefs délais, à condition que les deux équipes commencent à travailler en même temps, et que chacune des équipes soit occupée à fabriquer des pièces d'un seul type ?

Chacune des deux usines emploie 100 personnes. Dans la première usine, un ouvrier produit par équipe 3 pièces A ou 1 pièce B. Dans la deuxième usine, t^2 hommes-équipes sont nécessaires pour fabriquer t pièces (à la fois A et B).

Ces deux usines fournissent des pièces à l'usine, à partir de laquelle elles assemblent un produit pour la fabrication duquel il faut 1 partie A et 3 parties B. En même temps, les usines s'accordent entre elles pour produire des pièces afin que le plus grand nombre de produits peuvent être assemblés. Combien de produits dans de telles conditions l'usine peut-elle assembler par quart de travail ?

Le 17 décembre 2014, Anna a emprunté 232 050 roubles à la banque à 10% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 17 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette, puis Anna transfère X roubles à la banque. Quel doit être le montant X pour qu'Anna rembourse intégralement la dette en quatre versements égaux ?

Ceux-ci sont:
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 3% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent.
Quel montant doit être restitué à la banque au cours de la première année (12 premiers mois) de prêt ?

Selon le plan d'affaires, il est prévu d'investir 10 millions de roubles dans un projet de quatre ans. Selon les résultats de chaque année, il est prévu d'augmenter les fonds investis de 15% par rapport au début de l'année. Les intérêts courus restent investis dans le projet. De plus, immédiatement après l'accumulation des intérêts, des investissements supplémentaires sont nécessaires: un nombre entier de n millions de roubles les première et deuxième années, ainsi qu'un nombre entier de m millions de roubles les troisième et quatrième années.

Trouver les plus petites valeurs de n et m qui feront au moins doubler l'investissement initial en deux ans et au moins tripler en quatre ans

Dans deux régions, il y a 100 ouvriers chacun, chacun étant prêt à travailler 10 heures par jour dans l'extraction de l'aluminium ou du nickel. Dans la première région, un travailleur produit 0,3 kg d'aluminium ou 0,1 kg de nickel par heure. Dans le deuxième domaine, il faut x^2 heures-homme de travail pour extraire x kg d'aluminium par jour, et y^2 heures-homme de travail pour extraire y kg de nickel par jour.

Les deux régions fournissent le métal extrait à l'usine, où un alliage d'aluminium et de nickel est produit pour les besoins de l'industrie, dans laquelle 2 kg d'aluminium représentent 1 kg de nickel. Parallèlement, les régions s'entendent entre elles pour extraire les métaux afin que l'usine puisse produire la plus grande quantité d'alliage. Combien de kilogrammes d'alliage dans de telles conditions l'usine peut-elle produire quotidiennement ?

Pendant combien d'années est-il prévu de contracter un prêt si l'on sait que le montant total des paiements après son remboursement intégral sera de 18 millions de roubles?

L'agriculteur dispose de deux champs, chacun d'une superficie de 10 hectares. Les pommes de terre et les betteraves peuvent être cultivées dans chaque champ, et les champs peuvent être répartis entre ces cultures dans n'importe quelle proportion. Le rendement de la pomme de terre dans le premier champ est de 500 c/ha et dans le second de 300 c/ha. Le rendement de betteraves dans le premier champ est de 300 c/ha et dans le second de 500 c/ha.
Un agriculteur peut vendre des pommes de terre au prix de 2 000 roubles. pour cent et betteraves - au prix de 3 000 roubles. par centième. Quel est le revenu maximum qu'un agriculteur peut gagner ?

Le 10 juin, la banque contracte un prêt de 15 mois. Parallèlement, le 3ème jour de chaque mois, la dette augmente de 1% par rapport à la fin du mois précédent, du 4ème au 9ème jour de chaque mois, une partie de la dette doit être payée, et le 10e jour, la dette doit être le même montant moins la dette le 10e jour du mois précédent.

Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 1% par rapport à la fin du mois précédent ;

Du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;

Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent. On sait que pendant les 12 premiers mois, il faut payer 177,75 mille roubles à la banque. Combien comptez-vous emprunter ?

L'entrepreneur a acheté le bâtiment et va y ouvrir un hôtel. L'hôtel peut avoir des chambres standard de 21 mètres carrés et des chambres de luxe de 49 mètres carrés. La superficie totale pouvant être attribuée aux chambres est de 1099 mètres carrés. L'entrepreneur peut diviser cette zone entre des pièces de différents types, comme il le souhaite. Une chambre ordinaire rapporte à l'hôtel 2 000 roubles par jour et une chambre de luxe 4 500 roubles par jour. Quel est le montant maximum qu'un entrepreneur peut gagner grâce à son hôtel ?

On sait qu'au cours des 12 derniers mois, il est nécessaire de payer 1 597,5 milliers de roubles à la banque. Combien comptez-vous emprunter ?

Le 15 janvier, il est prévu de contracter un emprunt auprès de la banque pour 14 mois. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Le 1er jour de chaque mois, la dette augmente de r% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être remboursée ;
- Le 15 de chaque mois, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent.
On sait que le montant total des versements après le remboursement intégral du prêt est supérieur de 15 % au montant pris à crédit. Trouvez R.

Début 2001, Alexey a acheté un titre pour 7 000 roubles. A la fin de chaque année, le prix du papier augmente de 2000 roubles. Au début de chaque année, Alexey peut vendre le papier et déposer le produit sur un compte bancaire. Chaque année, le montant sur le compte augmentera de 10 %. Au début de quelle année Alexeï devrait-il vendre le titre pour que quinze ans après l'achat de ce titre, le montant sur le compte bancaire soit le plus important ?

Gregory est propriétaire de deux usines dans des villes différentes. Les usines produisent exactement les mêmes marchandises, mais l'usine située dans la deuxième ville utilise des équipements plus avancés.

En conséquence, si les ouvriers de l'usine située dans la première ville travaillent au total t^2 heures par semaine, alors cette semaine-là ils produisent 3t unités de biens ; si les ouvriers de l'usine située dans la deuxième ville travaillent un total de t^2 heures par semaine, alors cette semaine-là ils produisent 4t unités de biens.
- chaque mois de janvier la dette augmente de 10% par rapport à la fin de l'année précédente ;
- de février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée ;
- en juillet de chaque année, la dette doit être du même montant inférieur à la dette en juillet de l'année précédente.
Combien de millions de roubles était le montant total des paiements après remboursement du prêt ?

En juillet, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque d'un montant de 6 millions de roubles pendant une certaine période. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- chaque mois de janvier, la dette augmente de 20 % par rapport à la fin de l'année précédente ;
- de février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée ;
- en juillet de chaque année, la dette doit être du même montant inférieur à la dette en juillet de l'année précédente.
Pour quelle période minimale un prêt doit-il être contracté pour que le paiement annuel le plus élevé du prêt ne dépasse pas 1,8 million de roubles?

En juillet, il est prévu de contracter un emprunt d'un montant de 4 026 000 roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- Chaque mois de janvier, la dette augmente de 20% par rapport à la fin de l'année dernière.
- De février à juin de chaque année, il faut payer une partie de la dette.
Combien de roubles supplémentaires devront être payés si le prêt est entièrement remboursé en quatre versements égaux (c'est-à-dire sur 4 ans) par rapport au cas où le prêt est entièrement remboursé en deux versements égaux (c'est-à-dire sur 2 ans) ?

En juillet, il est prévu de contracter un emprunt auprès d'une banque d'un montant de 100 000 roubles. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- chaque mois de janvier, la dette augmente de 1 % par rapport à la fin de l'année précédente ;
- De février à juin de chaque année, une partie de la dette doit être payée.
Trouvez le nombre a si l'on sait que le prêt a été entièrement remboursé en deux ans et que 55 000 roubles ont été transférés la première année et 69 000 roubles la seconde.

La banque a placé le montant de 3900 mille roubles à 50% par an. A la fin de chacune des quatre premières années de conservation, après le calcul des intérêts, le déposant dépose en plus le même montant fixe sur le compte. À la fin de la cinquième année après l'accumulation des intérêts, il s'est avéré que le montant du dépôt avait augmenté de 725% par rapport à celui d'origine. Combien le contributeur a-t-il ajouté annuellement au dépôt ?

L'entrepreneur a contracté un prêt bancaire d'un montant de 9 930 000 roubles à 10% par an. Régime de remboursement du prêt : une fois par an, le client doit payer à la banque le même montant, qui se compose de deux parties. La première partie est de 10% de la dette restante et la seconde partie vise à rembourser la dette restante. Chaque année suivante, des intérêts ne sont imputés que sur le montant restant de la dette. Quel devrait être le montant du paiement annuel (en roubles) pour que l'entrepreneur rembourse intégralement le prêt en trois versements égaux ?

Dans cet article, nous envisagerons de résoudre les problèmes de la tâche 17, dans laquelle il est nécessaire de répartir de manière optimale la production afin d'obtenir un profit maximal.

Tache 1. La conserverie produit des compotes de fruits dans deux types de contenants, le verre et l'étain. La capacité de production de l'usine permet de produire 90 centimes de compotes dans des contenants en verre ou 80 centimes dans des contenants en étain par jour. Pour remplir les conditions d'assortiment présentées par les chaînes de distribution, les produits de chaque type de récipient doivent être fabriqués au moins 20 cents. Le tableau indique le coût et le prix de vente de l'usine pour 1 centième de produits pour les deux types de contenants.

En supposant que tous les produits de l'usine sont demandés (vendus sans laisser de trace), trouvez le profit maximum possible de l'usine en une journée (le profit est la différence entre le prix de vente de tous les produits et son coût).

Le montant du bénéfice dépend de la manière dont les capacités de production seront réparties dans l'usine, c'est-à-dire quelle partie des capacités sera consacrée à la production de compotes dans des récipients en verre et quelle partie - en étain. La valeur dont dépend le profit sera considérée comme une inconnue.

Supposons que la valeur soit une partie de la capacité de l'usine destinée à la production de compotes dans des récipients en verre. Ensuite, les capacités restantes, c'est-à-dire destinées à la production de compotes dans des récipients en étain.

Dans ce cas, l'usine produira des centners de compote dans des récipients en verre et des centners en étain.

Le bénéfice d'un centième de production est égal à la différence entre le prix de vente et le prix de revient. De cette façon

1 centime de compotes dans des récipients en verre fait un profit

1 centime de compotes dans des récipients en étain fait un profit

En conséquence, le bénéfice qui en résultera, en fonction de sera

Simplifier l'expression de la fonction

Le coefficient at est supérieur à zéro, il s'agit donc d'une fonction croissante, et plus la valeur est élevée, plus le profit est important. Mais selon l'état du problème, il est impossible de donner toutes les capacités pour la production de compotes en contenants de verre : pour répondre aux conditions d'assortiment présentées par les chaînes de distribution, les produits de chaque type de contenant doivent être fabriqués à au moins 20 cents.

Voyons quelle part des capacités doit être accordée à la production de compotes dans des récipients en étain:

Pour la production de compotes dans des récipients en étain, il est nécessaire de donner une partie de toutes les capacités de l'usine, par conséquent, pour la production de compotes dans des récipients en verre, vous pouvez donner le maximum de toutes les capacités.

Répondre: .

Tâche 2. L'agriculteur dispose de deux champs, chacun d'une superficie de 10 hectares. Chaque champ peut cultiver des pommes de terre et des betteraves, et les champs peuvent être répartis entre ces cultures dans n'importe quelle proportion. Le rendement de la pomme de terre dans le premier champ est de 500 c/ha et dans le second de 300 c/ha. Le rendement de betteraves dans le premier champ est de 300 c/ha et dans le second de 500 c/ha.

Un agriculteur peut vendre des pommes de terre au prix de 5 000 roubles. pour cent et betteraves - au prix de 8000 roubles. par centième. Quel est le revenu maximum qu'un agriculteur peut gagner ?

(de la collection Tâches de test typiques en mathématiques, édité par I. V. Yashchenko. 2016)

Le montant du revenu de l'agriculteur dépend de la manière dont la superficie de chaque champ sera répartie entre les plantations de pommes de terre et de betteraves.

Laissez l'agriculteur prendre un hectare dans le premier champ pour les pommes de terre. Puis ha reste sous les betteraves.

Le rendement des pommes de terre dans le premier champ est de 500 c/ha et celui des betteraves de 300 c/ha.

Dans ce cas, le profit du premier champ sera - nous avons une fonction croissante qui prend la plus grande valeur au maximum possible . Puisqu'il n'y a aucune restriction sur la répartition des zones de plantation entre les pommes de terre et les betteraves, il est avantageux pour l'agriculteur de donner tout le premier champ aux pommes de terre, puis il réalisera un profit:

Frotter.

Nous ferons de même avec le deuxième champ.

Laissez l'agriculteur prendre un hectare dans le deuxième champ pour les pommes de terre. Puis ha reste sous les betteraves.

Le rendement des pommes de terre dans le second champ est de 300 c/ha, et celui des betteraves est de 500 c/ha.

Si vous y réfléchissez, vous n'avez même pas besoin de créer une fonction ici, car le rendement des betteraves dans le deuxième champ est supérieur à celui des pommes de terre et le coût d'un centième de betteraves est également plus élevé. Par conséquent, il est évident qu'il est plus rentable pour un agriculteur de ne cultiver que des betteraves dans le deuxième champ. Dans ce cas, le profit du deuxième champ sera

Frotter.

Le bénéfice total de l'agriculteur est RUR.

Répondre:

mathématiques financières

Pour la tâche correctement terminée sans erreurs, vous recevrez 3 pointes.

Approximativement 35 minutes.

Pour résoudre la tâche 17 en mathématiques d'un niveau de profil, vous devez savoir :

1. La tâche est divisée en plusieurs types :
   • tâches liées aux banques, aux dépôts et aux prêts ;
   • tâches pour un choix optimal.
2. La formule de calcul de la mensualité : S crédit = S/12t
3. Formule de calcul de l'intérêt simple : S=α (1 + t/mois)
4. Formule de calcul des intérêts composés : C \u003d x (1 + a%)n

Pourcentage - est un centième de valeur.

• x*(1 + p/100) - valeur X a augmenté de p%
• x*(1 - k/100) - valeur X diminué de k%
• x*(1 + p/100) k - valeur X a augmenté de p% k une fois que
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – valeur X d'abord augmenté de p%, puis diminué de k%

Tâches pour rembourser le prêt en versements égaux:

Le montant du prêt est considéré comme X. Intérêts bancaires - mais. Remboursement de prêt - S

Un an après l'accumulation des intérêts et le paiement du montant S dette - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Dette après 2 ans : (xp-S)p-S
• Endettement après 3 ans : ((xp - S)p - S)p - S
• Le montant de la dette à travers n années: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)

Aujourd'hui, nous nous écarterons un peu des logarithmes standard, des intégrales, de la trigonométrie, etc., et ensemble nous examinerons une tâche plus vitale de l'examen d'État unifié en mathématiques, qui est directement liée à notre économie russe arriérée basée sur les ressources. Et pour être précis, nous aborderons le problème des dépôts, des intérêts et des prêts. Car ce sont les tâches avec des pourcentages qui ont récemment été ajoutées à la deuxième partie de l'examen d'État unifié en mathématiques. Je vais faire une réserve tout de suite que selon les spécifications USE, trois points principaux sont proposés à la fois pour résoudre ce problème, c'est-à-dire que les examinateurs considèrent cette tâche comme l'une des plus difficiles.

Dans le même temps, pour résoudre l'une de ces tâches de l'examen d'État unifié en mathématiques, vous n'avez besoin de connaître que deux formules, chacune étant tout à fait accessible à tout diplômé de l'école, cependant, pour des raisons que je ne comprends pas, ces formules sont complètement ignoré par les enseignants et les compilateurs de diverses tâches de préparation à l'examen. Par conséquent, aujourd'hui, je ne vais pas simplement vous dire quelles sont ces formules et comment les appliquer, mais je vais déduire chacune de ces formules littéralement sous vos yeux, en prenant comme base des tâches de la banque ouverte USE en mathématiques.

Par conséquent, la leçon s'est avérée assez volumineuse, assez significative, alors installez-vous confortablement et nous commençons.

Mettre de l'argent à la banque

Tout d'abord, je voudrais faire une petite digression lyrique liée à la finance, aux banques, aux prêts et aux dépôts, sur la base de laquelle nous obtiendrons les formules que nous utiliserons pour résoudre ce problème. Alors, écartons-nous un peu des examens, des problèmes scolaires à venir, et regardons vers l'avenir.

Disons que vous avez grandi et que vous allez acheter un appartement. Disons que vous allez acheter non pas un mauvais appartement à la périphérie, mais un appartement de bonne qualité pour 20 millions de roubles. En même temps, supposons également que vous ayez un travail plus ou moins normal et que vous gagniez 300 000 roubles par mois. Dans ce cas, pour l'année, vous pouvez économiser environ trois millions de roubles. Bien sûr, en gagnant 300 000 roubles par mois, vous obtiendrez pour l'année un montant légèrement plus élevé - 3 600 000 - mais laissez ces 600 000 être dépensés pour la nourriture, les vêtements et autres joies quotidiennes du ménage. Le total des données d'entrée est le suivant : il faut gagner vingt millions de roubles, alors que nous n'avons à notre disposition que trois millions de roubles par an. Une question naturelle se pose : combien d'années faut-il mettre de côté trois millions pour obtenir ces mêmes vingt millions. Il est considéré comme élémentaire :

\[\frac(20)(3)=6,....\à 7\]

Cependant, comme nous l'avons déjà noté, vous gagnez 300 000 roubles par mois, ce qui signifie que vous êtes des gens intelligents et que vous n'économiserez pas d'argent «sous l'oreiller», mais apportez-le à la banque. Et, par conséquent, chaque année sur les dépôts que vous apportez à la banque, des intérêts seront facturés. Disons que vous choisissez une banque fiable, mais en même temps plus ou moins rentable, et donc vos dépôts augmenteront de 15% par an et par an. En d'autres termes, nous pouvons dire que le montant sur vos comptes augmentera de 1,15 fois chaque année. Je vous rappelle la formule :

Calculons combien d'argent il y aura sur vos comptes après chaque année :

La première année, lorsque vous commencez à économiser de l'argent, aucun intérêt ne s'accumulera, c'est-à-dire qu'à la fin de l'année, vous économiserez trois millions de roubles :

À la fin de la deuxième année, des intérêts seront déjà courus sur ces trois millions de roubles qui sont restés de la première année, c'est-à-dire. nous devons multiplier par 1,15. Cependant, au cours de la deuxième année, vous avez également déclaré trois autres millions de roubles. Bien sûr, ces trois millions n'avaient pas encore couru d'intérêts, car à la fin de la deuxième année, ces trois millions n'étaient apparus sur le compte que :

Donc, la troisième année. À la fin de la troisième année, des intérêts seront courus sur ce montant, c'est-à-dire qu'il est nécessaire de multiplier ce montant total par 1,15. Et encore une fois, tout au long de l'année, vous avez travaillé dur et mis de côté trois millions de roubles :

\[\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Calculons une autre quatrième année. Encore une fois, le montant total que nous avions à la fin de la troisième année est multiplié par 1,15, c'est-à-dire Des intérêts seront facturés sur le montant total. Cela comprend les intérêts sur intérêts. Et trois millions de plus s'ajoutent à ce montant, car au cours de la quatrième année, vous avez également travaillé et également économisé de l'argent :

\[\gauche(\gauche(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Et maintenant ouvrons les parenthèses et voyons quel montant nous aurons à la fin de la quatrième année d'économies :

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, entre parenthèses, nous avons des éléments d'une progression géométrique, c'est-à-dire que nous avons la somme des éléments d'une progression géométrique.

Je vous rappelle que si la progression géométrique est donnée par l'élément $((b)_(1))$, ainsi que le dénominateur $q$, alors la somme des éléments sera calculée selon la formule suivante :

Cette formule doit être connue et clairement appliquée.

Attention : la formule nème élément ressemble à ceci:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

En raison de ce diplôme, de nombreux étudiants sont confus. Au total, nous venons de n pour la somme n-éléments, et n-ème élément a degré $n-1$. En d'autres termes, si nous essayons maintenant de calculer la somme d'une progression géométrique, nous devons considérer ce qui suit :

\[\begin(aligner)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(aligner)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Calculons le numérateur séparément :

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right ))^(2))=1.74900625\environ 1.75\]

Au total, en revenant à la somme de la progression géométrique, on obtient :

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Du coup, on obtient qu'en quatre ans d'épargne, notre montant initial ne sera pas multiplié par quatre, comme si nous n'avions pas déposé d'argent à la banque, mais par cinq, soit quinze millions. Écrivons-le séparément :

4 ans → 5 fois

Pour l'avenir, je dirai que si nous avions épargné non pas pendant quatre ans, mais pendant cinq ans, alors, en conséquence, le montant de notre épargne aurait augmenté de 6,7 fois :

5 ans → 6,7 fois

En d'autres termes, à la fin de la cinquième année, nous aurions le montant suivant sur le compte :

Autrement dit, à la fin de la cinquième année d'épargne, compte tenu des intérêts sur le dépôt, nous aurions déjà reçu plus de vingt millions de roubles. Ainsi, le compte d'épargne total provenant des intérêts bancaires passerait de près de sept ans à cinq ans, c'est-à-dire de près de deux ans.

Ainsi, même malgré le fait que la banque facture un intérêt assez faible sur nos dépôts (15%), après cinq ans, ces mêmes 15% donnent une augmentation qui dépasse largement nos revenus annuels. Dans le même temps, le principal effet multiplicateur se produit au cours des dernières années et même, plutôt, dans la dernière année d'épargne.

Pourquoi ai-je écrit tout cela ? Bien sûr, ne pas vous agiter pour porter de l'argent à la banque. Parce que si vous voulez vraiment augmenter vos économies, vous devez les investir non pas dans une banque, mais dans une véritable entreprise, où ces mêmes pourcentages, c'est-à-dire la rentabilité dans les conditions de l'économie russe, descendent rarement en dessous de 30%, c'est-à-dire deux fois autant de dépôts bancaires.

Mais ce qui est vraiment utile dans tout ce raisonnement, c'est une formule qui nous permet de trouver le montant final du dépôt à travers le montant des versements annuels, ainsi qu'à travers les intérêts que la banque facture. Alors écrivons :

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

En soi, % est calculé à l'aide de la formule suivante :

Cette formule doit également être connue, ainsi que la formule de base du montant de la contribution. Et, à son tour, la formule principale peut réduire considérablement les calculs dans les problèmes avec des pourcentages où il est nécessaire de calculer la contribution.

Pourquoi utiliser des formules au lieu de tableaux ?

Beaucoup auront probablement une question, pourquoi toutes ces difficultés du tout, est-il possible d'écrire simplement chaque année sur une tablette, comme ils le font dans de nombreux manuels, de calculer chaque année séparément, puis de calculer le montant total de la contribution ? Bien sûr, vous pouvez généralement oublier la somme d'une progression géométrique et tout compter à l'aide de tablettes classiques - cela se fait dans la plupart des collections pour préparer l'examen. Cependant, d'une part, le volume des calculs augmente fortement et, d'autre part, par conséquent, la probabilité de faire une erreur augmente.

Et en général, utiliser des tables au lieu de cette merveilleuse formule revient à creuser des tranchées avec vos mains sur un chantier de construction au lieu d'utiliser une excavatrice debout à proximité et pleinement opérationnelle.

Eh bien, ou la même chose que de multiplier cinq par dix sans utiliser la table de multiplication, mais en ajoutant cinq à lui-même dix fois de suite. Cependant, j'ai déjà fait une digression, je vais donc répéter une fois de plus l'idée la plus importante : s'il existe un moyen de simplifier et de raccourcir les calculs, alors c'est le moyen d'utiliser.

Intérêts sur les prêts

Nous avons compris les dépôts, nous passons donc au sujet suivant, à savoir les intérêts sur les prêts.

Ainsi, pendant que vous économisez de l'argent, planifiez soigneusement votre budget, pensez à votre futur appartement, votre camarade de classe, et maintenant un simple chômeur, a décidé de vivre pour aujourd'hui et vient de contracter un prêt. En même temps, il continuera de vous taquiner et de se moquer de vous, disent-ils, il a un téléphone à crédit et une voiture d'occasion, prise à crédit, et vous prenez toujours le métro et utilisez un vieux téléphone à bouton-poussoir. Bien sûr, pour toutes ces « show-offs » bon marché, votre ancien camarade de classe devra payer très cher. Combien cher - c'est ce que nous allons calculer maintenant.

Tout d'abord, une brève introduction. Disons que votre ancien camarade de classe a pris deux millions de roubles à crédit. En même temps, selon le contrat, il doit payer x roubles par mois. Disons qu'il a contracté un prêt à un taux de 20% par an, ce qui, dans les conditions actuelles, semble assez décent. Supposons également que la durée du prêt ne soit que de trois mois. Essayons de relier toutes ces quantités dans une formule.

Alors, au tout début, dès que votre ancien camarade de classe a quitté la banque, il a deux millions en poche, et c'est sa dette. En même temps, pas un an ne s'est écoulé, et pas un mois, mais ce n'est que le tout début :

Ensuite, après un mois, des intérêts courront sur le montant dû. Comme nous le savons déjà, pour calculer les intérêts, il suffit de multiplier la dette initiale par un coefficient, qui est calculé à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, on parle d'un taux de 20% par an, c'est-à-dire que l'on peut écrire :

Il s'agit du ratio du montant qui sera facturé par an. Cependant, notre camarade de classe n'est pas très intelligent et il n'a pas lu le contrat, et en fait, il a reçu un prêt non pas à 20% par an, mais à 20% par mois. Et à la fin du premier mois, des intérêts seront courus sur ce montant, et il augmentera de 1,2 fois. Immédiatement après cela, la personne devra payer le montant convenu, c'est-à-dire x roubles par mois :

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Et encore une fois, notre garçon effectue un paiement d'un montant de $x$ roubles.

Puis, à la fin du troisième mois, le montant de sa dette augmente à nouveau de 20 % :

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Et selon la condition de trois mois, il doit payer intégralement, c'est-à-dire qu'après avoir effectué le dernier troisième paiement, le montant de sa dette doit être égal à zéro. On peut écrire cette équation :

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Décidons :

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(aligner)\]

Devant nous se trouve à nouveau une progression géométrique, ou plutôt la somme des trois éléments d'une progression géométrique. Réécrivons-le dans l'ordre croissant des éléments :

Il faut maintenant trouver la somme des trois éléments d'une progression géométrique. Écrivons:

\[\begin(aligner)& ((b)_(1))=1 ; \\& q=1,2 \\\end(aligner)\]

Trouvons maintenant la somme de la progression géométrique :

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Rappelons que la somme d'une progression géométrique avec de tels paramètres $\left(((b)_(1));q \right)$ est calculée par la formule :

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

C'est la formule que nous venons d'utiliser. Remplacez cette formule dans notre expression :

Pour d'autres calculs, nous devons savoir à quoi $((1,2)^(3))$ est égal. Malheureusement, dans ce cas, on ne peut plus peindre comme la dernière fois sous la forme d'un double carré, mais on peut calculer comme ceci :

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(aligner)\]

On réécrit notre expression :

Il s'agit d'une expression linéaire classique. Revenons à la formule suivante :

En fait, si on la généralise, on obtiendra une formule liant intérêts, emprunts, paiements et conditions. La formule va comme ceci:

La voici, la formule la plus importante de la leçon vidéo d'aujourd'hui, à l'aide de laquelle au moins 80% de toutes les tâches économiques de l'examen d'État unifié en mathématiques de la deuxième partie sont prises en compte.

Le plus souvent, dans les tâches réelles, on vous demandera un paiement, ou un peu moins souvent un prêt, c'est-à-dire le montant total de la dette que notre camarade de classe avait au tout début des paiements. Dans les tâches plus complexes, il vous sera demandé de trouver un pourcentage, mais pour les tâches très complexes, que nous analyserons dans une leçon vidéo séparée, il vous sera demandé de trouver le laps de temps pendant lequel, avec les paramètres de prêt et de paiement donnés, notre camarade de classe au chômage pourra rembourser entièrement la banque.

Peut-être que quelqu'un pensera maintenant que je suis un farouche opposant aux prêts, à la finance et au système bancaire en général. Alors, rien de tel ! Au contraire, je crois que les instruments de crédit sont très utiles et essentiels pour notre économie, mais seulement à condition que le prêt soit contracté pour le développement des affaires. Dans les cas extrêmes, vous pouvez contracter un prêt pour acheter une maison, c'est-à-dire une hypothèque ou pour un traitement médical d'urgence - c'est tout, il n'y a tout simplement aucune autre raison de contracter un prêt. Et toutes sortes de chômeurs qui contractent des prêts pour acheter des "show-offs" et en même temps ne pensent pas du tout aux conséquences à la fin et deviennent la cause des crises et des problèmes de notre économie.

Revenant au sujet de la leçon d'aujourd'hui, je voudrais noter qu'il est également nécessaire de connaître cette formule reliant les prêts, les paiements et les intérêts, ainsi que le montant d'une progression géométrique. C'est à l'aide de ces formules que les vrais problèmes économiques de l'examen d'État unifié en mathématiques sont résolus. Eh bien, maintenant que vous savez très bien tout cela, lorsque vous comprenez ce qu'est un prêt et pourquoi vous ne devriez pas le prendre, passons à la résolution de vrais problèmes économiques de l'examen d'État unifié en mathématiques.

Nous résolvons de vrais problèmes de l'examen en mathématiques

Exemple 1

Donc la première tâche est :

Le 31 décembre 2014, Alexei a contracté un prêt de 9 282 000 roubles auprès de la banque à 10% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire augmente la dette de 10%), puis Alexey transfère X roubles à la banque. Quel devrait être le montant X pour qu'Alexeï rembourse la dette en quatre versements égaux (c'est-à-dire pendant quatre ans) ?

Donc, il s'agit d'un problème de prêt, alors nous écrivons immédiatement notre formule :

Nous connaissons le prêt - 9 282 000 roubles.

Nous allons traiter des pourcentages maintenant. On parle de 10% du problème. Par conséquent, nous pouvons les traduire :

On peut faire une équation :

Nous avons obtenu une équation linéaire ordinaire par rapport à $x$, bien qu'avec des coefficients assez redoutables. Essayons de le résoudre. Trouvons d'abord l'expression $((1,1)^(4))$ :

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(aligner)$

Réécrivons maintenant l'équation :

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Ça y est, notre problème avec les pourcentages est résolu.

Bien sûr, ce n'était que la tâche la plus simple avec des pourcentages de l'examen d'État unifié en mathématiques. Dans un vrai examen, il n'y aura probablement pas une telle tâche. Et si c'est le cas, considérez-vous comme très chanceux. Bon, pour ceux qui aiment compter et qui n'aiment pas prendre de risques, passons aux prochaines tâches plus difficiles.

Exemple #2

Le 31 décembre 2014, Stepan a emprunté 4 004 000 roubles à une banque à 20 % par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant : le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 20 %), puis Stepan effectue un paiement à la banque. Stepan a remboursé la totalité de la dette en 3 versements égaux. Combien de roubles de moins donnerait-il à la banque s'il pouvait rembourser la dette en 2 versements égaux.

Nous avons devant nous un problème de prêts, nous écrivons donc notre formule :

\[\]\

Que savons-nous? Tout d'abord, nous connaissons le crédit total. On connaît aussi les pourcentages. Trouvons le rapport :

Quant à $n$, vous devez lire attentivement l'état du problème. Autrement dit, nous devons d'abord calculer combien il a payé pendant trois ans, c'est-à-dire $n = 3$, puis répéter les mêmes étapes mais calculer les paiements pour deux ans. Écrivons une équation pour le cas où le paiement est payé pendant trois ans :

Résolvons cette équation. Mais d'abord, trouvons l'expression $((1,2)^(3))$ :

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(aligner)\]

On réécrit notre expression :

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(aligner)\]

Au total, notre paiement sera de 1900800 roubles. Cependant, faites attention: dans la tâche, nous devions trouver non pas un paiement mensuel, mais combien Stepan paierait au total pour trois paiements égaux, c'est-à-dire pour toute la période d'utilisation du prêt. Par conséquent, la valeur résultante doit être multipliée par trois à nouveau. Comptons:

Au total, Stepan paiera 5 702 400 roubles pour trois versements égaux. C'est combien il lui en coûtera pour utiliser le prêt pendant trois ans.

Considérons maintenant la deuxième situation, lorsque Stepan s'est ressaisi, s'est préparé et a remboursé la totalité du prêt non pas en trois, mais en deux versements égaux. Nous écrivons notre même formule:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(aligner)\]

Mais ce n'est pas tout, car maintenant nous n'avons calculé qu'un seul des deux paiements, donc au total, Stepan paiera exactement le double :

Super, maintenant nous sommes proches de la réponse finale. Mais attention: en aucun cas nous n'avons encore reçu de réponse définitive, car pour trois ans de paiements, Stepan paiera 5 702 400 roubles, et pour deux ans de paiements, il paiera 5 241 600 roubles, soit un peu moins. Combien moins ? Pour le savoir, vous devez soustraire le montant du deuxième paiement du montant du premier paiement :

La réponse finale totale est de 460 800 roubles. Exactement combien Stepan économisera s'il paie non pas trois ans, mais deux.

Comme vous pouvez le constater, la formule liant intérêts, échéances et paiements simplifie grandement les calculs par rapport aux tableaux classiques et, malheureusement, pour des raisons inconnues, la plupart des collections problématiques utilisent cependant encore des tableaux.

Par ailleurs, je voudrais attirer votre attention sur la durée pour laquelle le prêt a été contracté et sur le montant des mensualités. Le fait est que cette connexion n'est pas directement visible à partir des formules que nous avons écrites, mais sa compréhension est nécessaire pour la solution rapide et efficace des problèmes réels de l'examen. En fait, cette relation est très simple : plus le prêt est contracté longtemps, plus le montant sera petit en mensualités, mais plus le montant s'accumulera sur toute la durée d'utilisation du prêt. Et inversement : plus la durée est courte, plus la mensualité est élevée, mais plus le trop-perçu final est faible et plus le coût total du prêt est faible.

Bien sûr, toutes ces déclarations ne seront égales qu'à la condition que le montant du prêt et le taux d'intérêt dans les deux cas soient les mêmes. En général, pour l'instant, rappelez-vous simplement ce fait - il sera utilisé pour résoudre les problèmes les plus difficiles sur ce sujet, mais pour l'instant, nous analyserons un problème plus simple, où il vous suffit de trouver le montant total du prêt initial.

Exemple #3

Donc, une tâche de plus pour un prêt et, en combinaison, la dernière tâche du didacticiel vidéo d'aujourd'hui.

Le 31 décembre 2014, Vasily a contracté un certain montant auprès de la banque à crédit à 13% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 13%), puis Vasily transfère 5 107 600 roubles à la banque. Quel montant Vasily a-t-il emprunté à la banque s'il remboursait la dette en deux versements égaux (pendant deux ans) ?

Donc, tout d'abord, ce problème concerne à nouveau les prêts, nous écrivons donc notre merveilleuse formule :

Voyons ce que nous savons de l'état du problème. Premièrement, le paiement - il est égal à 5 ​​107 600 roubles par an. Deuxièmement, les pourcentages, afin que nous puissions trouver le rapport :

De plus, selon l'état du problème, Vasily a contracté un prêt auprès de la banque pour deux ans, c'est-à-dire payé en deux versements égaux, donc $n=2$. Remplaçons tout et notons également que le prêt nous est inconnu, c'est-à-dire le montant qu'il a pris, et notons-le comme $x$. On a:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Réécrivons notre équation en gardant ce fait à l'esprit :

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(aligner)\]

Voilà, c'est la réponse finale. C'est ce montant que Vasily a pris à crédit au tout début.

Maintenant, on comprend pourquoi dans ce problème on nous demande de contracter un prêt pour seulement deux ans, car des taux d'intérêt à deux chiffres apparaissent ici, à savoir 13%, ce qui, au carré, donne déjà un chiffre plutôt "brutal". Mais ce n'est pas la limite - dans la prochaine leçon séparée, nous examinerons des tâches plus complexes, où il sera nécessaire de trouver la durée du prêt, et le taux sera de un, deux ou trois pour cent.

En général, apprenez à résoudre les problèmes de dépôts et de prêts, préparez-vous aux examens et réussissez-les "excellent". Et si quelque chose n'est pas clair dans le matériel de la leçon vidéo d'aujourd'hui, n'hésitez pas - écrivez, appelez et j'essaierai de vous aider.