Ege profil 17 tâche. USE en Mathématiques (profil)

Dans cet article, nous envisagerons de résoudre les problèmes de la tâche 17, dans laquelle il est nécessaire de répartir de manière optimale la production afin d'obtenir un profit maximal.

Tache 1. La conserverie produit des compotes de fruits dans deux types de contenants, le verre et l'étain. La capacité de production de l'usine permet de produire 90 centimes de compotes dans des contenants en verre ou 80 centimes dans des contenants en étain par jour. Pour remplir les conditions d'assortiment présentées par les chaînes de distribution, les produits de chaque type de récipient doivent être fabriqués au moins 20 cents. Le tableau indique le coût et le prix de vente de l'usine pour 1 centième de produits pour les deux types de contenants.

En supposant que tous les produits de l'usine sont demandés (vendus sans laisser de trace), trouvez le profit maximum possible de l'usine en une journée (le profit est la différence entre le prix de vente de tous les produits et son coût).

Le montant du bénéfice dépend de la manière dont les capacités de production seront réparties dans l'usine, c'est-à-dire quelle partie des capacités sera consacrée à la production de compotes dans des récipients en verre et quelle partie - en étain. La valeur dont dépend le profit sera considérée comme une inconnue.

Supposons que la valeur soit une partie de la capacité de l'usine destinée à la production de compotes dans des récipients en verre. Ensuite, les capacités restantes, c'est-à-dire destinées à la production de compotes dans des récipients en étain.

Dans ce cas, l'usine produira des centners de compote dans des récipients en verre et des centners en étain.

Le profit d'un centième de production est égal à la différence entre le prix de vente et le prix de revient. De cette façon

1 centime de compotes dans des récipients en verre fait un profit

1 centime de compotes dans des récipients en étain fait un profit

En conséquence, le bénéfice qui en résultera, en fonction de sera

Simplifier l'expression de la fonction

Le coefficient at est supérieur à zéro, il s'agit donc d'une fonction croissante, et plus la valeur est élevée, plus le profit est important. Mais selon l'état du problème, il est impossible de donner toutes les capacités pour la production de compotes en contenants de verre : pour répondre aux conditions d'assortiment présentées par les chaînes de distribution, les produits de chaque type de contenant doivent être fabriqués à au moins 20 cents.

Voyons quelle part des capacités doit être accordée à la production de compotes dans des récipients en étain:

Pour la production de compotes dans des récipients en étain, il est nécessaire de donner une partie de toutes les capacités de l'usine, par conséquent, pour la production de compotes dans des récipients en verre, vous pouvez donner le maximum de toutes les capacités.

Répondre: .

Tâche 2. L'agriculteur dispose de deux champs, chacun d'une superficie de 10 hectares. Chaque champ peut cultiver des pommes de terre et des betteraves, et les champs peuvent être répartis entre ces cultures dans n'importe quelle proportion. Le rendement de la pomme de terre dans le premier champ est de 500 c/ha et dans le second de 300 c/ha. Le rendement de betteraves dans le premier champ est de 300 c/ha et dans le second de 500 c/ha.

Un agriculteur peut vendre des pommes de terre au prix de 5 000 roubles. pour cent et betteraves - au prix de 8000 roubles. par centième. Quel est le revenu maximum qu'un agriculteur peut gagner ?

(de la collection Tâches de test typiques en mathématiques, édité par I. V. Yashchenko. 2016)

Le montant du revenu de l'agriculteur dépend de la manière dont la superficie de chaque champ sera répartie entre les plantations de pommes de terre et de betteraves.

Laissez l'agriculteur prendre un hectare dans le premier champ pour les pommes de terre. Puis ha reste sous les betteraves.

Le rendement des pommes de terre dans le premier champ est de 500 c/ha et celui des betteraves de 300 c/ha.

Dans ce cas, le profit du premier champ sera - nous avons une fonction croissante qui prend la plus grande valeur au maximum possible . Puisqu'il n'y a pas de restrictions sur la répartition des zones de plantation entre les pommes de terre et les betteraves, il est avantageux pour l'agriculteur de donner tout le premier champ aux pommes de terre, puis il réalisera un profit:

Frotter.

Nous ferons de même avec le deuxième champ.

Laissez l'agriculteur prendre un hectare dans le deuxième champ pour les pommes de terre. Puis ha reste sous les betteraves.

Le rendement des pommes de terre dans le second champ est de 300 c/ha, et celui des betteraves est de 500 c/ha.

Si vous y réfléchissez, vous n'avez même pas besoin de créer une fonction ici, car le rendement des betteraves dans le deuxième champ est supérieur à celui des pommes de terre et le coût d'un centième de betteraves est également plus élevé. Par conséquent, il est évident qu'il est plus rentable pour un agriculteur de ne cultiver que des betteraves dans le deuxième champ. Dans ce cas, le profit du deuxième champ sera

Frotter.

Le bénéfice total de l'agriculteur est RUR.

Répondre:

UTILISATION en mathématiques niveau profil

Le travail consiste en 19 tâches.
Partie 1:
8 tâches avec une réponse courte du niveau de complexité de base.
Partie 2:
4 tâches avec une réponse courte
7 tâches avec une réponse détaillée d'un haut niveau de complexité.

Durée d'exécution - 3 heures 55 minutes.

Exemples d'affectations USE

Résoudre des tâches USE en mathématiques.

Pour une solution autonome :

1 kilowattheure d'électricité coûte 1 rouble 80 kopecks.
Le compteur d'électricité du 1er novembre affichait 12 625 kilowattheures et le 1er décembre, il affichait 12 802 kilowattheures.
Combien devez-vous payer pour l'électricité en novembre ?
Donnez votre réponse en roubles.

Problème avec solution :

Dans une pyramide triangulaire régulière ABCS de base ABC, les arêtes sont connues : AB \u003d 5 racines sur 3, SC \u003d 13.
Trouver l'angle formé par le plan de la base et la droite passant par le milieu des arêtes AS et BC.

Solution:

1. Puisque SABC est une pyramide régulière, alors ABC est un triangle équilatéral et les faces restantes sont des triangles isocèles égaux.
Autrement dit, tous les côtés de la base mesurent 5 sqrt (3) et tous les bords latéraux mesurent 13.

2. Soit D le milieu de BC, E le milieu de AS, SH la hauteur du point S à la base de la pyramide, EP la hauteur du point E à la base de la pyramide.

3. Trouvez AD à partir du triangle rectangle CAD en utilisant le théorème de Pythagore. Vous obtenez 15/2 = 7,5.

4. Puisque la pyramide est régulière, le point H est le point d'intersection des hauteurs / médianes / bissectrices du triangle ABC, ce qui signifie qu'il divise AD dans un rapport de 2 : 1 (AH = 2 AD).

5. Trouvez SH dans le triangle rectangle ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, par le théorème de Pythagore SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Les triangles AEP et ASH sont tous deux rectangles et ont un angle commun A, donc similaire. Par hypothèse, AE = AS/2, donc à la fois AP = AH/2 et EP = SH/2.

7. Il reste à considérer le triangle rectangle EDP (on s'intéresse juste à l'angle EDP).
EP = SH/2 = 6 ;
DP = AD 2/3 = 5 ;

Angle tangent EDP = EP/DP = 6/5,
Angle EDP = arctg(6/5)

Répondre:

USE 2019 en mathématiques tâche 17 avec une solution

Version de démonstration de l'examen d'État unifié 2019 en mathématiques

Examen d'État unifié de mathématiques 2019 au format pdf Niveau de base | Niveau de profil

Tâches de préparation à l'examen de mathématiques : niveau de base et profil avec réponses et solutions.

mathématiques financières

Pour la tâche correctement terminée sans erreurs, vous recevrez 3 pointes.

Approximativement 35 minutes.

Pour résoudre la tâche 17 en mathématiques d'un niveau de profil, vous devez savoir :

1. La tâche est divisée en plusieurs types :
   • tâches liées aux banques, aux dépôts et aux prêts ;
   • tâches pour un choix optimal.
2. La formule de calcul de la mensualité : S crédit = S/12t
3. Formule de calcul de l'intérêt simple : S=α (1 + t/mois)
4. Formule de calcul des intérêts composés : C \u003d x (1 + a%)n

Pourcentage - est un centième de valeur.

• x*(1 + p/100) - valeur X a augmenté de p%
• x*(1 - k/100) - valeur X diminué de k%
• x*(1 + p/100) k - valeur X a augmenté de p% k une fois que
• x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – valeur X d'abord augmenté de p%, puis diminué de k%

Tâches pour rembourser le prêt en versements égaux:

Le montant du prêt est considéré comme X. Intérêts bancaires - mais. Remboursement de prêt - S

Un an après l'accumulation des intérêts et le paiement du montant S dette - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

• Dette après 2 ans : (xp-S)p-S
• Endettement après 3 ans : ((xp - S)p - S)p - S
• Le montant de la dette à travers n années: xp n - S(p n-1 + ... + p 3 + p 2 + p + 1)

En 2018, des tâches sont apparues à l'examen d'État unifié en mathématiques qui ont effrayé de nombreux diplômés. "C'est effrayant", ont-ils dit après l'examen. - Ça n'est jamais arrivé auparavant. Il est impossible de trancher."

Bien sûr, je sympathise avec les candidats pour qui l'examen est encore un gros stress. L'examen est un test non seulement de connaissances, mais aussi de sang-froid et de capacité à agir dans une situation difficile. Et peut-être dites-vous: "Oui, la tâche est inhabituelle, mais je connais l'approche générale pour résoudre de tels problèmes - je peux le faire cette fois aussi."

Les tâches « bancaires » à l'examen d'État unifié en mathématiques étaient-elles vraiment si effrayantes en 2018 ? Ils sont particuliers. Ils ne peuvent être résolus sans préparation, sans connaissance de la façon dont les tâches USE pour les prêts sont généralement organisées.

N'oubliez pas qu'il n'y a que deux caractéristique type de tâches "bancaires", ou tâches pour les prêts.

1 genre. Les remboursements de prêt sont effectués paiements égaux . Ce régime est aussi appelé "rente". Le premier type comprend également tous les problèmes où Paiements(ou une régularité est donnée spécifiquement pour Paiements ).

2 types. Les remboursements des prêts sont choisis de manière à ce que le montant de la dette diminue régulièrement . C'est ce que l'on appelle le "régime de paiement différencié". Le deuxième type comprend également des tâches où la régularité de la diminution montant de la dette .

À propos de deux schémas pour résoudre les problèmes de prêts - mon bref matériel théorique.

Regardons les tâches "bancaires" de l'USE-2018 de ce point de vue.

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt auprès de la banque pour 21 mois. Les conditions de retour sont :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 3% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois du 1er au 20, la dette doit être inférieure de 30 000 roubles à la dette du 15 du mois précédent;
- au 15e jour du 21e mois, le prêt doit être entièrement remboursé.
Quel montant est-il prévu d'emprunter si le montant total des paiements après son remboursement intégral est de 1 604 000 roubles ?

Tout d'abord, introduisons des variables. Les calculs seront effectués en milliers de roubles.

Soit S le montant à emprunter

Z est le montant total des paiements, Z = 1604 (mille roubles).

X - diminution mensuelle du montant de la dette, X \u003d 30 (mille roubles),

p=3% - intérêts facturés par la banque sur une base mensuelle. Après la première accumulation d'intérêts, le montant de la dette est égal à Après chaque accumulation d'intérêts, le montant de la dette augmente d'un facteur de. Dans notre problème, k = 1,03.

Déterminons à quel type appartient la tâche. La dette diminue uniformément (par condition, Le 15 de chaque mois du 1er au 20, la dette doit être inférieure de 30 000 roubles à la dette du 15 du mois précédent). Il s'agit donc d'un deuxième type de problème. Et dans les tâches du deuxième type, nous dessinons le schéma suivant:

Après la première accumulation d'intérêts, le montant de la dette est égal à kS. Ensuite, après le premier paiement, le montant de la dette est égal à S - X, où X = 30 (mille roubles).

Ainsi, le premier paiement est égal à kS - (S - X) (voir schéma).

…

Dernier paiement : k (S - 20 X).

Trouver le montant total des paiements Z.
Z = kS - (S - X) + k (S - X) - (S - 2X) + ... + k (S - 20X) =
= k (S + S - X + S - 2X + ... + S - 20X) - (S - X + S - 2X + ... + S - 20X).

Nous avons regroupé les termes contenant le facteur k et ceux sans k.

Simplifions les expressions entre parenthèses :
k (21S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) - (20S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) = Z.

Dans les problèmes de ce type (lorsque le montant de la dette diminue uniformément), la formule de la somme d'une progression arithmétique est appliquée :

Dans ce problème, nous l'utilisons également.

k (21 S - 210X) - 20 S + 210 k \u003d S (21k - 20) - 210 X (k-1) \u003d Z.

Il reste à substituer des valeurs numériques.

S (21 ⋅ 1,03 - 20) - 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604.

D'où S = 1 100 mille roubles = 1 100 000 roubles.

La tâche suivante est du même type. Le modèle mathématique est le même. Il vous suffit de trouver une autre valeur - les intérêts facturés par la banque. De plus, le nombre de mois pour lesquels le prêt a été contracté est inconnu.

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt bancaire de 1 000 000 de roubles pour (n+1) mois. Les conditions de son retour sont les suivantes :
- le 1er jour de chaque mois, la dette augmente de r% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois, du 1er au n, la dette doit être inférieure de 40 000 roubles à la dette du 15 du mois précédent;
- Le 15e jour du nième mois, la dette s'élèvera à 200 000 roubles;
- au 15ème jour du (n + 1)ème mois, le prêt doit être intégralement remboursé.
Trouvez r si l'on sait que le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt sera de 1378 000 roubles.

S \u003d 1000000 roubles \u003d 1000 (mille roubles) - le montant du prêt,

X \u003d 40 (mille roubles) - réduction mensuelle du montant de la dette,

Z = 1378 (mille roubles) - le montant total des paiements,

Un coefficient indiquant combien de fois le montant de la dette a augmenté après que les intérêts ont été accumulés.

Nous dessinons un schéma de remboursement de prêt déjà familier.

Premier paiement : kS - (S - X).

Deuxième paiement : k (S - X) - (S - 2X).

Dernier paiement : k (S - n X).

Par état, Le 15e jour du nième mois, la dette s'élèvera à 200 000 roubles.

Donc, S - nX = 200. Remplaçons les données numériques :

1000 - 40 n = 200 ; alors n = 20, n + 1 = 21, c'est-à-dire que le prêt a été contracté pour 21 mois. Très pratique - le nombre de mois dans ce problème s'est avéré être le même que dans le précédent. Par conséquent, nous allons très brièvement répéter les principaux points de la solution.

Paiement total Z :

Z = kS - (S - X) + k (S - X) - (S - 2X) + ... + k (S - X) =
= k (S + S - X + S - 2X + ... + S - 20X) - (S - X + S - 2X + ... + S - 20X) =
= k (21S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) - (20S - X (1 + 2 + 3+ ... + 20)) =
\u003d k (21 S - 210X) - 20 S + 210 k \u003d S (21k - 20) - 210 X (k-1).

Nous avons de nouveau utilisé la même formule pour la somme d'une progression arithmétique :

Par condition, Z = 1378 (mille roubles).

Exprimez k à partir de la formule S (21k - 20) - 210 X (k-1) = Z :

Remplacez les données de l'état du problème.

Réponse : r = 3 %.

La troisième tâche parmi les "cauchemars" de l'USE-2018 en mathématiques. Même schéma !

3.

Le 15 décembre, il est prévu de contracter un emprunt bancaire d'un montant de 300 000 roubles sur 21 mois. Les conditions de retour sont :
- Le 1er de chaque mois, la dette augmente de 2% par rapport à la fin du mois précédent ;
- du 2 au 14 de chaque mois, une partie de la dette doit être payée ;
- Le 15 de chaque mois du 1er au 20, la dette doit être du même montant inférieur à la dette du 15 du mois précédent ;
- le 15e jour du 20e mois, la dette s'élèvera à 100 000 roubles;
- au 15e jour du 21e mois, le prêt doit être entièrement remboursé.
Trouver le montant total des paiements après le remboursement intégral du prêt.

Également une tâche du deuxième type - il existe des informations sur la réduction du montant de la dette. De même, nous effectuerons des calculs en milliers de roubles.

Comme toujours, nous introduisons quelques notations. Pour plus de commodité, nous effectuons des calculs en milliers de roubles.

S = 300 (mille roubles) - le montant du prêt,

n = 21 – nombre de mois,

X - diminution mensuelle du montant de la dette,

Z est le montant total des paiements.

Nous dessinons le même diagramme que dans la tâche précédente. Selon la condition, le 15e jour du 20e mois, la dette s'élèvera à 100 000 roubles.

Donc, S - 20 X = 100. En substituant les données de la condition, nous trouvons que X = 10.

De la même manière, nous calculons le montant des paiements (voir tâches 1 et 2).

Z \u003d S (21k - 20) - 210 X (k-1).

Nous substituons les données de la condition : Z = 300 (21 ⋅ 1,02 - 20) - 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (mille roubles).

Réponse : 384 000 roubles.

Aujourd'hui, nous nous écarterons un peu des logarithmes standard, des intégrales, de la trigonométrie, etc., et ensemble nous examinerons une tâche plus vitale de l'examen d'État unifié en mathématiques, qui est directement liée à notre économie russe arriérée basée sur les ressources. Et pour être précis, nous aborderons le problème des dépôts, des intérêts et des prêts. Car ce sont les tâches avec des pourcentages qui ont récemment été ajoutées à la deuxième partie de l'examen d'État unifié en mathématiques. Je vais faire une réserve tout de suite que selon les spécifications USE, trois points principaux sont proposés à la fois pour résoudre ce problème, c'est-à-dire que les examinateurs considèrent cette tâche comme l'une des plus difficiles.

Dans le même temps, pour résoudre l'une de ces tâches de l'examen d'État unifié en mathématiques, vous n'avez besoin de connaître que deux formules, chacune étant tout à fait accessible à tout diplômé de l'école, cependant, pour des raisons que je ne comprends pas, ces formules sont complètement ignoré par les enseignants et les compilateurs de diverses tâches de préparation à l'examen. Par conséquent, aujourd'hui, je ne vais pas simplement vous dire quelles sont ces formules et comment les appliquer, mais je vais déduire chacune de ces formules littéralement sous vos yeux, en prenant comme base des tâches de la banque ouverte USE en mathématiques.

Par conséquent, la leçon s'est avérée assez volumineuse, assez significative, alors installez-vous confortablement et nous commençons.

Mettre de l'argent à la banque

Tout d'abord, je voudrais faire une petite digression lyrique liée à la finance, aux banques, aux prêts et aux dépôts, sur la base de laquelle nous obtiendrons les formules que nous utiliserons pour résoudre ce problème. Alors, écartons-nous un peu des examens, des problèmes scolaires à venir, et regardons vers l'avenir.

Disons que vous avez grandi et que vous allez acheter un appartement. Disons que vous allez acheter non pas un mauvais appartement à la périphérie, mais un appartement de bonne qualité pour 20 millions de roubles. En même temps, supposons également que vous ayez un travail plus ou moins normal et que vous gagniez 300 000 roubles par mois. Dans ce cas, pour l'année, vous pouvez économiser environ trois millions de roubles. Bien sûr, en gagnant 300 000 roubles par mois, vous obtiendrez pour l'année un montant légèrement plus élevé - 3 600 000 - mais laissez ces 600 000 être dépensés pour la nourriture, les vêtements et autres joies quotidiennes du ménage. Le total des données d'entrée est le suivant : il faut gagner vingt millions de roubles, alors que nous n'avons à notre disposition que trois millions de roubles par an. Une question naturelle se pose : combien d'années faut-il mettre de côté trois millions pour obtenir ces mêmes vingt millions. Il est considéré comme élémentaire :

\[\frac(20)(3)=6,....\to 7\]

Cependant, comme nous l'avons déjà noté, vous gagnez 300 000 roubles par mois, ce qui signifie que vous êtes des gens intelligents et que vous n'économiserez pas d'argent «sous l'oreiller», mais apportez-le à la banque. Et, par conséquent, chaque année sur les dépôts que vous apportez à la banque, des intérêts seront facturés. Disons que vous choisissez une banque fiable, mais en même temps plus ou moins rentable, et donc vos dépôts augmenteront de 15% par an et par an. En d'autres termes, nous pouvons dire que le montant sur vos comptes augmentera de 1,15 fois chaque année. Je vous rappelle la formule :

Calculons combien d'argent il y aura sur vos comptes après chaque année :

La première année, lorsque vous commencez à économiser de l'argent, aucun intérêt ne s'accumulera, c'est-à-dire qu'à la fin de l'année, vous économiserez trois millions de roubles :

À la fin de la deuxième année, des intérêts seront déjà courus sur ces trois millions de roubles qui sont restés de la première année, c'est-à-dire. nous devons multiplier par 1,15. Cependant, au cours de la deuxième année, vous avez également déclaré trois autres millions de roubles. Bien sûr, ces trois millions n'avaient pas encore couru d'intérêts, car à la fin de la deuxième année, ces trois millions n'étaient apparus sur le compte que :

Donc, la troisième année. À la fin de la troisième année, des intérêts seront courus sur ce montant, c'est-à-dire qu'il est nécessaire de multiplier ce montant total par 1,15. Et encore une fois, tout au long de l'année, vous avez travaillé dur et mis de côté trois millions de roubles :

\[\left(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Calculons une autre quatrième année. Encore une fois, le montant total que nous avions à la fin de la troisième année est multiplié par 1,15, c'est-à-dire Des intérêts seront facturés sur le montant total. Cela comprend les intérêts sur intérêts. Et trois millions de plus s'ajoutent à ce montant, car au cours de la quatrième année, vous avez également travaillé et également économisé de l'argent :

\[\gauche(\gauche(3m\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m \right)\cdot 1.15+3m\]

Et maintenant ouvrons les parenthèses et voyons quel montant nous aurons à la fin de la quatrième année d'économies :

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \right) \\\end(aligner)\]

Comme vous pouvez le voir, entre parenthèses, nous avons des éléments d'une progression géométrique, c'est-à-dire que nous avons la somme des éléments d'une progression géométrique.

Je vous rappelle que si la progression géométrique est donnée par l'élément $((b)_(1))$, ainsi que le dénominateur $q$, alors la somme des éléments sera calculée selon la formule suivante :

Cette formule doit être connue et clairement appliquée.

Attention : la formule nème élément ressemble à ceci:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

En raison de ce diplôme, de nombreux étudiants sont confus. Au total, nous venons de n pour la somme n-éléments, et n-ème élément a degré $n-1$. En d'autres termes, si nous essayons maintenant de calculer la somme d'une progression géométrique, nous devons considérer ce qui suit :

\[\begin(aligner)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(aligner)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Calculons le numérateur séparément :

\[((1,15)^(4))=((\left(((1,15)^(2)) \right))^(2))=((\left(1,3225 \right ))^(2))=1.74900625\environ 1.75\]

Au total, en revenant à la somme de la progression géométrique, on obtient :

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Du coup, on obtient qu'en quatre ans d'épargne, notre montant initial ne sera pas multiplié par quatre, comme si nous n'avions pas déposé d'argent à la banque, mais par cinq, soit quinze millions. Écrivons-le séparément :

4 ans → 5 fois

Pour l'avenir, je dirai que si nous avions épargné non pas pendant quatre ans, mais pendant cinq ans, alors, en conséquence, le montant de notre épargne aurait augmenté de 6,7 fois :

5 ans → 6,7 fois

En d'autres termes, à la fin de la cinquième année, nous aurions le montant suivant sur le compte :

Autrement dit, à la fin de la cinquième année d'épargne, compte tenu des intérêts sur le dépôt, nous aurions déjà reçu plus de vingt millions de roubles. Ainsi, le compte d'épargne total provenant des intérêts bancaires passerait de près de sept ans à cinq ans, c'est-à-dire de près de deux ans.

Ainsi, même malgré le fait que la banque facture un intérêt assez faible sur nos dépôts (15%), après cinq ans, ces mêmes 15% donnent une augmentation qui dépasse largement nos revenus annuels. Dans le même temps, le principal effet multiplicateur se produit au cours des dernières années et même, plutôt, dans la dernière année d'épargne.

Pourquoi ai-je écrit tout cela ? Bien sûr, ne pas vous agiter pour porter de l'argent à la banque. Parce que si vous voulez vraiment augmenter vos économies, vous devez les investir non pas dans une banque, mais dans une véritable entreprise, où ces mêmes pourcentages, c'est-à-dire la rentabilité dans les conditions de l'économie russe, descendent rarement en dessous de 30%, c'est-à-dire deux fois autant de dépôts bancaires.

Mais ce qui est vraiment utile dans tout ce raisonnement, c'est une formule qui nous permet de trouver le montant final du dépôt à travers le montant des versements annuels, ainsi qu'à travers les intérêts que la banque facture. Alors écrivons :

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

En soi, % est calculé à l'aide de la formule suivante :

Cette formule doit également être connue, ainsi que la formule de base du montant de la contribution. Et, à son tour, la formule principale peut réduire considérablement les calculs dans les problèmes avec des pourcentages où il est nécessaire de calculer la contribution.

Pourquoi utiliser des formules au lieu de tableaux ?

Beaucoup auront probablement une question, pourquoi toutes ces difficultés du tout, est-il possible d'écrire simplement chaque année sur une tablette, comme ils le font dans de nombreux manuels, de calculer chaque année séparément, puis de calculer le montant total de la contribution ? Bien sûr, vous pouvez généralement oublier la somme d'une progression géométrique et tout compter à l'aide de tablettes classiques - cela se fait dans la plupart des collections pour préparer l'examen. Cependant, d'une part, le volume des calculs augmente fortement et, d'autre part, par conséquent, la probabilité de faire une erreur augmente.

En général, utiliser des tables au lieu de cette merveilleuse formule revient à creuser des tranchées avec vos mains sur un chantier de construction au lieu d'utiliser une excavatrice debout à proximité et pleinement opérationnelle.

Eh bien, ou la même chose que de multiplier cinq par dix sans utiliser la table de multiplication, mais en ajoutant cinq à lui-même dix fois de suite. Cependant, j'ai déjà fait une digression, je vais donc répéter une fois de plus l'idée la plus importante : s'il existe un moyen de simplifier et de raccourcir les calculs, alors c'est le moyen d'utiliser.

Intérêts sur les prêts

Nous avons compris les dépôts, nous passons donc au sujet suivant, à savoir les intérêts sur les prêts.

Ainsi, pendant que vous économisez de l'argent, planifiez soigneusement votre budget, pensez à votre futur appartement, votre camarade de classe, et maintenant un simple chômeur, a décidé de vivre pour aujourd'hui et vient de contracter un prêt. En même temps, il continuera de vous taquiner et de se moquer de vous, disent-ils, il a un téléphone à crédit et une voiture d'occasion, prise à crédit, et vous prenez toujours le métro et utilisez un vieux téléphone à bouton-poussoir. Bien sûr, pour toutes ces « show-offs » bon marché, votre ancien camarade de classe devra payer très cher. Combien cher - c'est ce que nous allons calculer maintenant.

Tout d'abord, une brève introduction. Disons que votre ancien camarade de classe a pris deux millions de roubles à crédit. En même temps, selon le contrat, il doit payer x roubles par mois. Disons qu'il a contracté un prêt à un taux de 20% par an, ce qui, dans les conditions actuelles, semble assez décent. Supposons également que la durée du prêt ne soit que de trois mois. Essayons de relier toutes ces quantités dans une formule.

Alors, au tout début, dès que votre ancien camarade de classe a quitté la banque, il a deux millions en poche, et c'est sa dette. En même temps, pas une année ne s'est écoulée, ni un mois, mais ce n'est que le tout début :

Ensuite, après un mois, des intérêts courront sur le montant dû. Comme nous le savons déjà, pour calculer les intérêts, il suffit de multiplier la dette initiale par un coefficient, qui est calculé à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, on parle d'un taux de 20% par an, c'est-à-dire que l'on peut écrire :

Il s'agit du ratio du montant qui sera facturé par an. Cependant, notre camarade de classe n'est pas très intelligent et il n'a pas lu le contrat, et en fait, il a reçu un prêt non pas à 20% par an, mais à 20% par mois. Et à la fin du premier mois, des intérêts seront courus sur ce montant, et il augmentera de 1,2 fois. Immédiatement après cela, la personne devra payer le montant convenu, c'est-à-dire x roubles par mois :

\[\left(2m\cdot 1,2-x\right)\cdot 1,2-x\]

Et encore une fois, notre garçon effectue un paiement d'un montant de $x$ roubles.

Puis, à la fin du troisième mois, le montant de sa dette augmente à nouveau de 20 % :

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

Et selon la condition de trois mois, il doit payer intégralement, c'est-à-dire qu'après avoir effectué le dernier troisième paiement, le montant de sa dette doit être égal à zéro. On peut écrire cette équation :

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Décidons :

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \right) \\\end(aligner)\]

Devant nous se trouve à nouveau une progression géométrique, ou plutôt la somme des trois éléments d'une progression géométrique. Réécrivons-le dans l'ordre croissant des éléments :

Il faut maintenant trouver la somme des trois éléments d'une progression géométrique. Écrivons:

\[\begin(aligner)& ((b)_(1))=1 ; \\& q=1,2 \\\end(aligner)\]

Trouvons maintenant la somme de la progression géométrique :

\[((S)_(3))=1\cdot \frac(((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Rappelons que la somme d'une progression géométrique avec de tels paramètres $\left(((b)_(1));q \right)$ est calculée par la formule :

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

C'est la formule que nous venons d'utiliser. Remplacez cette formule dans notre expression :

Pour d'autres calculs, nous devons savoir à quoi $((1,2)^(3))$ est égal. Malheureusement, dans ce cas, on ne peut plus peindre comme la dernière fois sous la forme d'un double carré, mais on peut calculer comme ceci :

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(aligner)\]

On réécrit notre expression :

Il s'agit d'une expression linéaire classique. Revenons à la formule suivante :

En fait, si on la généralise, on obtiendra une formule liant intérêts, emprunts, paiements et conditions. La formule va comme ceci:

La voici, la formule la plus importante de la leçon vidéo d'aujourd'hui, à l'aide de laquelle au moins 80% de toutes les tâches économiques de l'examen d'État unifié en mathématiques de la deuxième partie sont prises en compte.

Le plus souvent, dans les tâches réelles, on vous demandera un paiement, ou un peu moins souvent un prêt, c'est-à-dire le montant total de la dette que notre camarade de classe avait au tout début des paiements. Dans les tâches plus complexes, il vous sera demandé de trouver un pourcentage, mais pour les tâches très complexes, que nous analyserons dans une leçon vidéo séparée, il vous sera demandé de trouver le laps de temps pendant lequel, avec les paramètres de prêt et de paiement donnés, notre camarade de classe au chômage pourra rembourser entièrement la banque.

Peut-être que quelqu'un pensera maintenant que je suis un farouche opposant aux prêts, à la finance et au système bancaire en général. Alors, rien de tel ! Au contraire, je crois que les instruments de crédit sont très utiles et essentiels pour notre économie, mais seulement à condition que le prêt soit contracté pour le développement des affaires. Dans les cas extrêmes, vous pouvez contracter un prêt pour acheter une maison, c'est-à-dire une hypothèque ou pour un traitement médical d'urgence - c'est tout, il n'y a tout simplement aucune autre raison de contracter un prêt. Et toutes sortes de chômeurs qui contractent des prêts pour acheter des "show-offs" et en même temps ne pensent pas du tout aux conséquences à la fin et deviennent la cause des crises et des problèmes de notre économie.

Revenant au sujet de la leçon d'aujourd'hui, je voudrais noter qu'il est également nécessaire de connaître cette formule reliant les prêts, les paiements et les intérêts, ainsi que le montant d'une progression géométrique. C'est à l'aide de ces formules que les vrais problèmes économiques de l'examen d'État unifié en mathématiques sont résolus. Eh bien, maintenant que vous savez très bien tout cela, lorsque vous comprenez ce qu'est un prêt et pourquoi vous ne devriez pas le prendre, passons à la résolution de vrais problèmes économiques de l'examen d'État unifié en mathématiques.

Nous résolvons de vrais problèmes de l'examen en mathématiques

Exemple 1

Donc la première tâche est :

Le 31 décembre 2014, Alexei a contracté un prêt de 9 282 000 roubles auprès de la banque à 10% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire augmente la dette de 10%), puis Alexey transfère X roubles à la banque. Quel devrait être le montant X pour qu'Alexeï rembourse la dette en quatre versements égaux (c'est-à-dire pendant quatre ans) ?

Donc, il s'agit d'un problème de prêt, alors nous écrivons immédiatement notre formule :

Nous connaissons le prêt - 9 282 000 roubles.

Nous allons traiter des pourcentages maintenant. On parle de 10% du problème. Par conséquent, nous pouvons les traduire :

On peut faire une équation :

Nous avons obtenu une équation linéaire ordinaire par rapport à $x$, bien qu'avec des coefficients assez redoutables. Essayons de le résoudre. Trouvons d'abord l'expression $((1,1)^(4))$ :

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \right))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(aligner)$

Réécrivons maintenant l'équation :

\[\begin(align)& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Ça y est, notre problème avec les pourcentages est résolu.

Bien sûr, ce n'était que la tâche la plus simple avec des pourcentages de l'examen d'État unifié en mathématiques. Dans un vrai examen, il n'y aura probablement pas une telle tâche. Et si c'est le cas, considérez-vous comme très chanceux. Bon, pour ceux qui aiment compter et qui n'aiment pas prendre de risques, passons aux prochaines tâches plus difficiles.

Exemple #2

Le 31 décembre 2014, Stepan a emprunté 4 004 000 roubles à une banque à 20 % par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant : le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 20 %), puis Stepan effectue un paiement à la banque. Stepan a remboursé la totalité de la dette en 3 versements égaux. Combien de roubles de moins donnerait-il à la banque s'il pouvait rembourser la dette en 2 versements égaux.

Nous avons devant nous un problème de prêts, nous écrivons donc notre formule :

\[\]\

Que savons-nous? Tout d'abord, nous connaissons le crédit total. On connaît aussi les pourcentages. Trouvons le rapport :

Quant à $n$, vous devez lire attentivement l'état du problème. Autrement dit, nous devons d'abord calculer combien il a payé pendant trois ans, c'est-à-dire $n = 3$, puis répéter les mêmes étapes mais calculer les paiements pour deux ans. Écrivons une équation pour le cas où le paiement est payé pendant trois ans :

Résolvons cette équation. Mais d'abord, trouvons l'expression $((1,2)^(3))$ :

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(aligner)\]

On réécrit notre expression :

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728) )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(aligner)\]

Au total, notre paiement sera de 1900800 roubles. Cependant, faites attention: dans la tâche, nous devions trouver non pas un paiement mensuel, mais combien Stepan paierait au total pour trois paiements égaux, c'est-à-dire pour toute la période d'utilisation du prêt. Par conséquent, la valeur résultante doit être multipliée par trois à nouveau. Comptons:

Au total, Stepan paiera 5 702 400 roubles pour trois versements égaux. C'est combien il lui en coûtera pour utiliser le prêt pendant trois ans.

Considérons maintenant la deuxième situation, lorsque Stepan s'est ressaisi, s'est préparé et a remboursé la totalité du prêt non pas en trois, mais en deux versements égaux. Nous écrivons notre même formule:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac(((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(aligner)\]

Mais ce n'est pas tout, car maintenant nous n'avons calculé qu'un seul des deux paiements, donc au total, Stepan paiera exactement le double :

Super, maintenant nous sommes proches de la réponse finale. Mais attention: en aucun cas nous n'avons encore reçu de réponse définitive, car pour trois ans de paiements, Stepan paiera 5 702 400 roubles, et pour deux ans de paiements, il paiera 5 241 600 roubles, soit un peu moins. Combien moins ? Pour le savoir, vous devez soustraire le montant du deuxième paiement du montant du premier paiement :

La réponse finale totale est de 460 800 roubles. Exactement combien Stepan économisera s'il paie non pas trois ans, mais deux.

Comme vous pouvez le constater, la formule liant intérêts, échéances et paiements simplifie grandement les calculs par rapport aux tableaux classiques et, malheureusement, pour des raisons inconnues, la plupart des collections problématiques utilisent cependant encore des tableaux.

Par ailleurs, je voudrais attirer votre attention sur la durée pour laquelle le prêt a été contracté et sur le montant des mensualités. Le fait est que cette connexion n'est pas directement visible à partir des formules que nous avons écrites, mais sa compréhension est nécessaire pour la solution rapide et efficace des problèmes réels de l'examen. En fait, cette relation est très simple : plus le prêt est contracté longtemps, plus le montant sera petit en mensualités, mais plus le montant s'accumulera sur toute la durée d'utilisation du prêt. Et inversement : plus la durée est courte, plus la mensualité est élevée, mais plus le trop-perçu final est faible et plus le coût total du prêt est faible.

Bien sûr, toutes ces déclarations ne seront égales qu'à la condition que le montant du prêt et le taux d'intérêt dans les deux cas soient les mêmes. En général, pour l'instant, rappelez-vous simplement ce fait - il sera utilisé pour résoudre les problèmes les plus difficiles sur ce sujet, mais pour l'instant, nous analyserons un problème plus simple, où il vous suffit de trouver le montant total du prêt initial.

Exemple #3

Donc, une tâche de plus pour un prêt et, en combinaison, la dernière tâche du didacticiel vidéo d'aujourd'hui.

Le 31 décembre 2014, Vasily a contracté un certain montant auprès de la banque à crédit à 13% par an. Le schéma de remboursement du prêt est le suivant: le 31 décembre de chaque année suivante, la banque accumule des intérêts sur le montant restant de la dette (c'est-à-dire qu'elle augmente la dette de 13%), puis Vasily transfère 5 107 600 roubles à la banque. Quel montant Vasily a-t-il emprunté à la banque s'il remboursait la dette en deux versements égaux (pendant deux ans) ?

Donc, tout d'abord, ce problème concerne à nouveau les prêts, nous écrivons donc notre merveilleuse formule :

Voyons ce que nous savons de l'état du problème. Premièrement, le paiement - il est égal à 5 ​​107 600 roubles par an. Deuxièmement, les pourcentages, afin que nous puissions trouver le rapport :

De plus, selon l'état du problème, Vasily a contracté un prêt auprès de la banque pour deux ans, c'est-à-dire payé en deux versements égaux, donc $n=2$. Remplaçons tout et notons également que le prêt nous est inconnu, c'est-à-dire le montant qu'il a pris, et notons-le comme $x$. On a:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Réécrivons notre équation en gardant ce fait à l'esprit :

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(aligner)\]

Voilà, c'est la réponse finale. C'est ce montant que Vasily a pris à crédit au tout début.

Maintenant, on comprend pourquoi dans ce problème on nous demande de contracter un prêt pour seulement deux ans, car des pourcentages à deux chiffres apparaissent ici, à savoir 13%, ce qui, au carré, donne déjà un chiffre plutôt «brutal». Mais ce n'est pas la limite - dans la prochaine leçon séparée, nous examinerons des tâches plus complexes, où il sera nécessaire de trouver la durée du prêt, et le taux sera de un, deux ou trois pour cent.

En général, apprenez à résoudre les problèmes de dépôts et de prêts, préparez-vous aux examens et réussissez-les "excellent". Et si quelque chose n'est pas clair dans le matériel de la leçon vidéo d'aujourd'hui, n'hésitez pas - écrivez, appelez et j'essaierai de vous aider.