Calcul des intérêts composés sur les dépôts et les investissements. Accumulation d'intérêts. Calcul de la valeur courue

Aujourd'hui, la plupart des prêts sont remboursés au moyen d'annuités qui sont les mêmes montants mensuels. De même, les dépôts sont soumis à un calcul stable des intérêts. Le même montant tous les mois. Dans la pratique bancaire, un tel intérêt est appelé simple. Ainsi, dans le cas d'un prêt, sur une base mensuelle, son propriétaire devra rembourser non seulement une partie du montant principal, mais également les intérêts courus pour son utilisation. Ce format de partenariat est légal. C'est une toute autre affaire si l'intérêt composé est retiré à l'emprunteur. La formule de son calcul sera discutée ci-dessous.

Contre la loi, ou Comment les banques profitent-elles des emprunteurs inexpérimentés ?

Beaucoup seront intéressés à le savoir, mais facturer des intérêts composés sur un prêt est illégal. Ce format de coopération rend le produit bancaire très rentable pour les institutions financières et totalement non rentable pour le client. Le format illégal de calcul des intérêts est effectué lorsque le taux d'intérêt change systématiquement pendant toute la durée du prêt. Il est possible de remarquer les actions illégales de la banque uniquement lorsqu'un retard est formé, ce qui en fait ne devrait pas l'être. Au cours d'un litige, il peut être prouvé que la banque n'a pas tout à fait facturé les intérêts corrects.

Alors, qu'est-ce que l'intérêt composé sur les prêts et les dépôts ?

Formule intérêts composés pour un prêt vous permettra de comprendre que la régularisation s'effectue non seulement sur le montant principal de la dette, mais également sur le montant des fonds constitués après la régularisation des intérêts bancaires. En termes simples, les intérêts composés sont des intérêts qui s'accumulent sur eux-mêmes. Dans la pratique bancaire, ils sont également appelés intérêts doubles.

Les gens sont souvent confrontés à des situations où leur petite dette se transforme en une jolie somme d'argent. L'essence du problème est qu'une fois que l'institution financière a fixé le délai, elle ajoutera des intérêts au montant de la dette. La prochaine régularisation sera faite sur le montant principal de la dette majoré des intérêts calculés précédemment sur celle-ci. La dette envers la banque augmente de façon exponentielle. Les intérêts composés défavorables pour l'emprunteur deviennent un véritable avantage pour les épargnants, car, comme l'augmentation de la dette, ils procurent une augmentation rapide des bénéfices.

Intérêt composé : une formule pour les emprunteurs

Dans la pratique financière, le schéma de calcul des intérêts composés est très courant. Il est pertinent dans le cas où les fonds d'intérêts ne sont pas payés tous les mois, mais sont ajoutés au montant de la dette principale, qui devient une nouvelle base pour les frais de la banque. Si le prêt a une durée d'un an ou plus, l'emprunteur peut faire face à l'insolvabilité.

FV = PV + % = PV + PV * % = PV * (1 + %)

Pour calculer le trop-perçu pour deux périodes de régularisation, vous pouvez utiliser la formule suivante :

FV = (PV + %) * (% + 1) = PV * (1 + %) * (1 + %) = PV * (1 + %) 2

FV = PV * (1 +%) N = PV * Kn, où :

• FV - le montant accumulé de la dette.
• PV est le montant principal de la dette.
• % - taux pour la période d'accumulation.
• N est le nombre de périodes d'accumulation.
• Kn - le coefficient d'intérêt composé.

Augmenter les intérêts simples et composés

Des formules d'intérêts simples et composés vous permettent de déterminer le montant du trop-payé et d'évaluer au préalable les avantages d'un produit bancaire. Avec les prêts à court terme, les intérêts simples sont plus rentables pour les banques. Cependant, si la durée du prêt a des tendances à moyen ou long terme, la différence peut être assez perceptible pour le client. De là, les modèles suivants émergent :

Quel que soit le taux d'intérêt à:

1. 0 < N < 1 , то (1 + N * %) >(1 + %) N .
2. N > 1, alors (1 + N * %)< (1 + %) N .
3. N = 1, alors (1 + N * %) = (1 + %) N .

Comme vous pouvez le constater, les institutions financières qui accordent des prêts tirent davantage profit de intérêt simple lors de l'accumulation de tous les revenus une fois à la fin de toute la période de prêt. L'intérêt composé ne paie que si le prêt est d'au moins un an. Les deux types d'intérêts donnent un bénéfice identique à la banque si le prêt est émis pour une durée d'un an, et les intérêts sont courus une fois à la fin du partenariat.

Formule des intérêts composés sur les dépôts

Les intérêts composés ne sont pas seulement utilisés par les banques pour bénéficier de prêts. Le format de la comptabilité d'exercice est également utilisé lors des dépôts, déterminant ainsi les avantages pour les investisseurs. Le montant total du dépôt peut être calculé à l'aide de la formule suivante :

S = D * (1 + % * je / Y / 100) * N

Pour calculer le profit sur un dépôt, il est efficace d'utiliser d'autres formules :

Sp = S - D = D * (1 + % * je / Y / 100) * N - D

Sp = D * ((1 + % * je / Y / 100) * N - 1)

Pour comparer la rentabilité des dépôts émis pour une période différente et dont chacun a son propre taux d'intérêt composé, la formule sera différente. Il vous permettra de déterminer le pourcentage que l'investisseur recevra après capitalisation.

P1 = 100 * ((1 + % * i / Y / 100) * N - 1), où :

• D - la taille du dépôt initial.
• S - le montant total du dépôt avec les intérêts courus.
• % - taux d'intérêt.
• sp - revenu.
• N - le nombre de charges à payer.
• i - le nombre de jours pour l'accumulation des intérêts.
• Y - jours dans une année.

Le taux final de la banque, calculé en tenant compte de la capitalisation des intérêts, est dit effectif. Les institutions financières ne tiennent pas compte du jour où le partenariat prend fin si elles utilisent un système complexe de régularisation des bénéfices.

Un exemple de calcul de charges à payer complexes sur un dépôt

La formule des intérêts composés aide chaque investisseur à estimer au préalable le montant de ses revenus. Essayons de calculer séparément le montant total de l'acompte et le bénéfice reçu sur celui-ci, si la taille de l'investissement initial était de 100 000 roubles pour une période de 90 jours avec un taux de 16%.

S = 100000 + (100000 * 16% * 90 / 365)

Sp = 100000 * 16% * 90 / 365

A quoi faire attention ?

Pour chaque format de partenariat avec une banque, vous devez utiliser une option de calcul individuelle. En fonction de la durée du dépôt et de la fréquence des paiements, l'intérêt composé final sera formé. La formule pour son calcul variera d'un cas à l'autre. Afin d'éviter les erreurs et de choisir le programme de dépôt le plus rentable, vous devez contacter les experts. Les représentants d'une institution financière peuvent aider à cet égard. Bien qu'ils n'aient pas le droit de recommander des dépôts, ils sont tenus de fournir, sur demande, un schéma complet de calcul des intérêts sur ceux-ci.

Capitalisation lors d'investissements sur les marchés des changes

La capitalisation des intérêts se trouve non seulement dans la banque, mais aussi sur marché des changes Forex. Les investisseurs qui donnent leur capital à gestion de la confiance, ont la possibilité de suivre l'augmentation exponentielle de leurs dépôts. La spécificité de ce type d'investissement est que lorsqu'un bénéfice est reçu, il n'est pas retiré immédiatement, mais est distribué à la fin de la période de négociation. Pendant la période de négociation, qui peut être d'une semaine, d'un mois ou même de plusieurs mois, les intérêts composés seront automatiquement calculés en raison des spécificités de la négociation. Pour un calcul précis du revenu, la formule des intérêts composés sur les dépôts ne convient pas. La raison en est l'absence d'un taux stable. Le profit est déterminé par la qualité de la négociation du gestionnaire, sa stratégie et sa politique de gestion de l'argent, ainsi que d'autres paramètres du système de négociation.

Avis à l'investisseur

Pour calculer le revenu lors de la capitalisation, on n'utilise pas une seule formule d'intérêt composé pour un prêt et un dépôt, mais plusieurs. Cela est dû conditions différentes partenariat avec une banque. Les intérêts sur intérêts peuvent être calculés tous les jours, ce qui est très rare, toutes les semaines, tous les mois et même tous les ans (pour les placements à long terme).

La meilleure option peut être considérée comme un dépôt avec une capitalisation mensuelle, il n'est pas difficile de la trouver et elle apportera des avantages assez importants. L'accumulation d'intérêts sur intérêts est d'autant plus rentable pour l'investisseur que la régularisation est fréquente. Malgré les taux d'intérêt plus bas sur les produits bancaires avec capitalisation, le profit au final est d'un ordre de grandeur supérieur à celui d'un simple système de régularisation.

Un autre point intéressant est que ce cotisation plus longue sera à la banque, plus vite il augmentera. L'augmentation des revenus se produira en raison de l'ajout des charges à payer au montant de base des fonds. Si au cours de l'année les bénéfices de la capitalisation ne sont pas aussi tangibles, dix ans plus tard, les doutes sur les bénéfices de cette offre bancaire tomber. Ainsi, en choisissant un taux d'intérêt plus bas, mais en vous concentrant sur la capitalisation, vous pouvez obtenir un profit plus élevé sur le dépôt.

Du simple au complexe...

Pourquoi une personne apporte-t-elle son épargne à la banque ? Bien sûr, pour assurer leur sécurité, et surtout - pour recevoir un revenu. Et ici, la connaissance de la formule des intérêts simples ou composés, ainsi que la capacité de faire un calcul préliminaire des intérêts sur un dépôt, seront utiles comme jamais auparavant. Après tout, prévoir les intérêts sur les dépôts ou les intérêts sur les prêts est l'une des composantes d'une gestion raisonnable de vos finances. Il est bon de faire de telles prévisions avant de signer des contrats et de s'engager opérations financières, ainsi que pendant les périodes de la prochaine accumulation d'intérêts et de leur addition au dépôt en vertu d'un contrat de dépôt déjà signé.

Pour calculer les intérêts sur les dépôts (dépôts) et les prêts également, les formules suivantes sont utilisées:

1. formule d'intérêt simple,


2. formule d'intérêt composé.

Un taux fixe est lorsque le taux d'intérêt fixé pour un dépôt bancaire est fixé dans un contrat de dépôt et reste inchangé pendant toute la durée de l'investissement, c'est-à-dire fixé. Ce tarif ne peut évoluer qu'au moment du renouvellement tacite du contrat de nouveau mandat ou en cas de résiliation anticipée de la relation contractuelle et paiement d'intérêts pour la période d'investissement effective au taux « à vue », qui est stipulé par les conditions.

Un taux flottant est lorsque le taux d'intérêt initialement fixé dans le cadre de l'accord peut changer pendant toute la période d'investissement. Les conditions et modalités de modification des tarifs sont précisées dans le contrat de dépôt. Les taux d'intérêt peuvent changer: en relation avec les modifications du taux de refinancement, avec les modifications du taux de change, avec le transfert du montant du dépôt vers une autre catégorie et d'autres facteurs.

Pour calculer les intérêts à l'aide de formules, vous devez connaître les paramètres d'investissement des fonds dans un compte de dépôt, à savoir:

• le montant de la caution (caution),
• taux d'intérêt sur le dépôt sélectionné (dépôt),
• cycles de calcul des intérêts (quotidien, mensuel, trimestriel, etc.),
• période de placement du dépôt (dépôt),
• parfois, le type de taux d'intérêt utilisé est également requis - fixe ou variable.

Examinons maintenant les formules d'intérêt standard ci-dessus qui sont utilisées pour calculer les intérêts sur les dépôts (dépôts).

Formule d'intérêt simple

La formule d'intérêt simple est utilisée si les intérêts courus sur le dépôt ne sont ajoutés au dépôt qu'à la fin de la durée du dépôt ou ne sont pas ajoutés du tout, mais sont transférés sur un compte séparé, c'est-à-dire le calcul des intérêts simples ne prévoit pas la capitalisation des intérêts.

Lors du choix du type de dépôt, vous devez faire attention à la procédure de calcul des intérêts. Lorsque le montant du dépôt et la période de placement sont importants, et que la banque utilise la formule d'intérêt simple, cela conduit à une sous-estimation du montant des revenus d'intérêts du déposant. La formule d'intérêt simple sur les dépôts ressemble à ceci :

Formule d'intérêt simple

Formule d'intérêt simple

Signification du symbole :
Sp - le montant des intérêts (revenus).
I - taux d'intérêt annuel
t - le nombre de jours d'accumulation d'intérêts sur le dépôt attiré
K - nombre de jours dans une année civile (365 ou 366)
P est le montant des fonds attirés par le dépôt.

Je vais donner des exemples conditionnels de calcul d'intérêts simples et du montant d'un dépôt bancaire à intérêts simples:

Exemple 1 Supposons que la banque ait accepté un dépôt d'un montant de 50 000 roubles pour une période de 30 jours. Taux d'intérêt fixe - 10,5% par an. En appliquant les formules, nous obtenons les résultats suivants :

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50431,51

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

Exemple 2 La banque a accepté un dépôt du même montant de 50 000 roubles pour une période de 3 mois (90 jours) pour taux fixe 10,5 % "annuel". Seul le terme de l'investissement a changé dans les conditions.

S = 50000 + 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 51294,52

Sp = 50000 * 10,5 * 90 / 365 / 100 = 1294,52

En comparant les deux exemples, on peut voir que le montant des intérêts courus mensuellement selon la formule d'intérêt simple ne change pas.

431,51 * 3 mois = 1294,52 roubles.

Exemple 3 La banque a accepté un dépôt d'un montant de 50 000 roubles pour une période de 3 mois (90 jours) à un taux fixe de 10,5% "annuel". Le dépôt est reconstituable et le 61e jour, le dépôt a été reconstitué à hauteur de 10 000 roubles.

S1 \u003d 50000 + 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 \u003d 50863,01
Sp1 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 = 863,01

S2 = 60000 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 60517,81
Sp2 = 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 517,81

Sp = Sp1 + Sp2 = 50000 * 10,5 * 60 / 365 / 100 + 60000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 863,01 + 517,81 = 1380,82

Exemple 4 La banque a accepté un dépôt du même montant de 50 000 roubles pour une période de 3 mois (90 jours), à taux variable. Pour le premier mois (30 jours) le taux d'intérêt est de 10,5 %, pour les 2 mois suivants (60 jours) le taux d'intérêt est de 12 %.

S1 = 50000 + 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 50000 + 431,51 = 50431,51
Sp1 = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 = 431,51

S2 = 50000 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 50000 + 986,3 = 50986,3
Sp2 = 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 986,3

Sp = 50000 * 10,5 * 30 / 365 / 100 + 50000 * 12 * 60 / 365 / 100 = 431,51 + 986,3 = 1417,81

Formule d'intérêt composé

La formule des intérêts composés est appliquée si les intérêts sur le dépôt sont calculés à intervalles réguliers (quotidiens, mensuels, trimestriels) et que les intérêts courus sont ajoutés au dépôt, c'est-à-dire que le calcul des intérêts composés prévoit la capitalisation des intérêts (calcul des intérêts sur les intérêts).

La plupart des banques proposent des dépôts à capitalisation trimestrielle (Sberbank of Russia, VTB, etc.), c'est-à-dire. avec intérêt composé. Et certaines banques, en termes de dépôts, proposent une capitalisation à la fin de la période d'investissement, c'est-à-dire lorsque le dépôt est prolongé pour le terme suivant, ce qui, pour ne pas dire plus, fait référence à un coup de publicité qui encourage le déposant à ne pas prendre les intérêts courus, mais les intérêts eux-mêmes sont en fait calculés selon la formule d'intérêt simple. Et je le répète, lorsque le montant du dépôt et la période de placement sont importants, une telle «capitalisation» n'entraîne pas une augmentation du montant des revenus d'intérêts du déposant, car il n'y a pas d'accumulation d'intérêts sur les revenus d'intérêts perçus dans les années précédentes. périodes.
La formule des intérêts composés ressemble à ceci :

Formule d'intérêt composé

Calculer uniquement les intérêts composés à l'aide d'une formule ressemblerait à ceci :

Calcul des intérêts composés uniquement

Je vais donner un exemple conditionnel de calcul des intérêts composés et du montant d'un dépôt bancaire avec intérêts composés :

Exemple 5 Dépôt accepté d'un montant de 50 mille roubles. pendant une période de 90 jours à un taux fixe de 10,5 % par an. Les intérêts sont facturés mensuellement. Par conséquent, le nombre d'opérations de capitalisation des intérêts courus (p) dans les 90 jours sera de - 3. Et le nombre de jours calendaires dans la période suivant laquelle la banque capitalise les intérêts courus (j) sera de - 30 jours (90/ 3). Quel sera le montant des intérêts ?

S \u003d 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100) 3 \u003d 51305,72
Sp = 50000 * (1 + 10,5 * 30 / 365 / 100)3 - 50000 = 1305,72
Vous pouvez vérifier l'exactitude du montant d'intérêt calculé à l'aide de la méthode des intérêts composés en revérifiant le calcul à l'aide de la formule d'intérêt simple.

Pour ce faire, nous divisons la période de dépôt en 3 périodes indépendantes (3 mois) de 30 jours chacune et calculons les intérêts pour chaque période à l'aide de la formule d'intérêt simple. Le montant de l'acompte de chaque période suivante sera pris en compte en tenant compte des intérêts des périodes précédentes. À la suite du calcul, il s'est avéré:

Ainsi, le montant total des intérêts, compte tenu de la capitalisation mensuelle (calcul des intérêts sur intérêts), est de :

Sp = Sp1 + Sp2 + Sp3 = 431,51 + 435,23 + 438,98 = 1305,72
Cela correspond au montant calculé à partir des intérêts composés dans l'exemple 5.
Et lors du calcul des intérêts pour la même période à l'aide de la formule d'intérêt simple de l'exemple n ° 2, le revenu ne s'élevait qu'à 1294,52 roubles. La capitalisation des intérêts a rapporté au déposant 11,2 roubles supplémentaires. (1305.72 - 1294.52), c'est-à-dire des rendements plus élevés sont obtenus à partir de dépôts avec capitalisation des intérêts lorsque des intérêts composés sont appliqués.

Lors du calcul des intérêts, une autre petite nuance doit être prise en compte. Lors de la détermination du nombre de jours pour les intérêts courus sur un dépôt (t) ou du nombre de jours calendaires dans la période suivant laquelle la banque capitalise les intérêts courus (j), le jour de clôture (retrait) du dépôt n'est pas pris en compte Compte. Ainsi, par exemple, le 2 novembre 2007, la banque a accepté un dépôt pour une période de 7 jours. La durée totale du dépôt est du 02.11.07 au 09.11.07, soit. 8 jours calendaires. Et la période d'accumulation des intérêts sur le dépôt sera du 02.11.07 au 08.11.07, c'est-à-dire. – 7 jours calendaires. Le jour 09.11.07 n'est pas pris en compte car la caution est restituée au client.

En terminant le matériel, je souhaite à nouveau attirer votre attention sur le fait que, selon les formules d'intérêt ci-dessus, vous pouvez également calculer les intérêts sur les prêts. Bonne chance avec vos revenus et vos dépenses.

Les banques proposent à leurs déposants potentiels différents types dépôts, mais tous peuvent être divisés en deux groupes selon les méthodes de calcul des bénéfices. Il s'agit de l'accumulation d'intérêts sur un dépôt sans capitalisation et de l'accumulation à l'aide d'intérêts composés. Pour calculer le profit dans le second cas, vous aurez besoin de la formule d'intérêt composé pour Dépôts de banque.

Nous vous expliquerons comment calculer vous-même les intérêts composés et utiliserons cette formule pour un investissement en capital compétent. Vous comprendrez comment les banques vous facturent des intérêts. Cela vous aidera à naviguer facilement parmi la masse d'offres différentes sur les dépôts.

Comment calculer l'intérêt composé : formule et exemples

Commençons du simple au complexe. Typique dépôt bancaireà intérêt simple ne prévoit pas la possibilité de capitalisation des bénéfices. Vous recevez des paiements d'intérêts mensuellement, trimestriellement ou à la fin avec le montant principal, selon les conditions de la banque. Vous pouvez retirer de l'argent et l'utiliser à votre propre discrétion.

Voici un exemple de dépôt simple classique. Vous mettez 100 000 à la banque à 12% par an. La banque vous verse des intérêts chaque mois. Votre bénéfice total sera de :

100 000 * 0,12 = 12 000 roubles

À la fin de chaque période, vous recevrez environ 1000 roubles. La formule de calcul dans la banque est plus compliquée, elle prend en compte le nombre de jours dans chaque mois et le nombre de jours dans une année. Par conséquent, en février, vous recevrez moins qu'en avril, et en avril, vous recevrez moins qu'en mai. Mais au total, le bénéfice sera de 12 000 roubles *.

* Pour ceux qui aiment la précision en tout. En fait, vous n'obtiendrez même pas 12 000 roubles, car les banques utilisent une formule plus complexe pour accumuler les dépôts. Le montant du bénéfice est calculé comme suit: % \u003d p / (Dnper. / Dnyear.). Les banques, en règle générale, ne tiennent pas compte du jour où le dépôt a été effectué, donc en réalité vous recevrez 100 000 * 0,12 / (364/365) = 100 000 * 0,119671232 = 11 967, 1232 roubles par an.

L'intérêt composé sur un dépôt prévoit l'accumulation d'intérêts pour la période indiquée dans l'accord (mois, année, trimestre), et l'ajout ultérieur de ce montant à montant total verser. Les intérêts pour la période suivante ne seront plus facturés sur le montant initial, mais sur le montant + intérêts. Par conséquent, le revenu pour la nouvelle période sera plus élevé.

Le terme financier "intérêt composé" fait référence au bénéfice total reçu pour verser, sous réserve de l'ajout du bénéfice pour chaque période. L'ajout d'intérêts au montant initial s'appelle la capitalisation.

C profit \u003d C commencer * (1 + %) w - C commencer

Explications pour la formule des intérêts composés :

• Avec profit - le montant que vous recevrez après la fin du contrat, sans compter le dépôt initial;
• Depuis le début - le montant pour lequel le dépôt a été effectué (montant initial);
• % - désignation du taux d'intérêt. Il est indiqué sous forme de fraction décimale. p(10 % par an équivaut à 0,1 ;
• 14,5 % par an - 0,145, et est calculé pour chaque période selon la formule : % = R* (Ndn.per. / Nyr.);
• w est le nombre de périodes de capitalisation. Si l'ajout au montant principal du dépôt est effectué chaque mois, alors w = 12. La formule simplifiée en % pour un calcul approximatif du profit sera : % = R / 12.

En utilisant cette version simple, les intérêts composés peuvent être calculés très rapidement sans programmes ni calculatrices supplémentaires.

Exemple. Vous mettez les mêmes 100 000 roubles à 12% par an, mais avec une capitalisation tous les mois. Votre bénéfice sera de : 100 000 * (1 + 0,12 / 12) 12 - 100 000 = 100 000 * (1 + 0,01) 12 - 100 000 = 112 682,503 - 100 000 = 12 682 roubles.

Le montant réel sera différent car la formule exacte en % pour chaque mois sera différente en raison du nombre différent de jours. De plus, le premier jour de la première période de crédit n'est pas pris en compte (comme dans le cas du calcul des intérêts simples).

La plupart des produits de dépôt bancaire offrent des intérêts composés capitalisés sur une base mensuelle ou trimestrielle. Plus il y a de périodes de capitalisation, plus le profit sera élevé. Ceci est facile à vérifier sur le premier exemple en changeant le nombre de périodes de 12 à 4 : 100 000 * (1 + 0,12/4) 4 - 100 000 = 100 000 * (1,03) 4 - 100 000 = 100 000 * 1, 1255088 - 100 000 = 12 550,88 roubles.

Pourquoi les clients des banques ont-ils souvent des difficultés avec les intérêts bancaires composés ? Le plus souvent, parce qu'ils utilisent une formule simplifiée pour le calcul, et ne tiennent pas compte taux différent pour chaque période. Mais alors et formule générale ne peut pas être appliqué : après tout, si dans un trimestre, nous obtenons % = p * (90/365) = p * 0,2466, alors déjà dans le deuxième trimestre % = p * (91/365) = p * 0,2493.

En quoi un tel dépôt diffère-t-il d'un dépôt standard avec capitalisation des intérêts ? DANS ce casà la fin de la première période (mois), ce ne sont pas les intérêts pour cette période qui sont ajoutés au montant initial, mais un certain montant fixe. Pour calculer les intérêts composés avec réapprovisionnement mensuel, nous utiliserons une formule différente.

Pour calculer les intérêts composés avec réapprovisionnement, la formule ressemble à ceci :

C profit \u003d C initial * (1 + %) w + (C supplémentaire * (1 +%) w + 1 - C supplémentaire * (1 + %)) / % - C initial

Exemple : vous déposez 100 000 roubles sur votre compte à 12 % par an, et chaque mois vous ajoutez 5 000 roubles supplémentaires à ce dépôt. En même temps, nous ne prenons pas en compte les intérêts : nous pensons que vous les recevez sur un compte séparé et les utiliser différemment.

Vous obtenez : 100 000 * (1 + 0,01) 12 - 100 000 + (5 000 * (1 + 0,01) 13 - 5 000 * 1,01) / 0,01 = 12 682 + 1 904 = 14 586 roubles.

La formule de calcul de la première période: C1 \u003d C début * (1 +%). C1 n'est pas seulement l'intérêt, mais aussi le montant initial de la contribution. Calcul pour la deuxième période : С2 = С1 * (1 + %). Gardez à l'esprit que la valeur % sera différente dans chaque cas.

Calculer le complexe intérêts bancaires pour un dépôt de 100 000 roubles à 12% par an, avec capitalisation tous les trimestres. Le 1er janvier sera considéré comme le jour où le contrat est établi.

C1 \u003d C début * (1 +%) \u003d 100 000 * (1 + 0,12 * (30 + 28 + 31) / 365) \u003d 100 000 * (1 + 0,12 * 0,2438356) \u003d 100 000 * (1 + 0,0292603) = 102 926,03 roubles ;

C2 \u003d 102 926,03 * (1 + 0,12 * (30 + 31 + 30) / 365) \u003d 102 926,03 * (1 + 0,0299178) \u003d 106 005,35 roubles, etc. En poursuivant ces calculs, nous obtenons 112 514,93 roubles. Autrement dit, le bénéfice sera de 12 514,93 roubles (calculé à l'aide d'une formule simplifiée, le résultat était de 12 550 roubles).

Il n'est pas nécessaire d'utiliser des formules aussi complexes, à moins que vous n'aimiez les chiffres exacts et que vous souhaitiez vérifier auprès de votre banque si vos dépôts sont correctement facturés.

Comment utiliser de manière rentable les intérêts bancaires composés

A taux d'intérêt égaux, un dépôt avec capitalisation apportera plus de revenus. Mais souvent la banque offre le choix : un dépôt avec un taux inférieur, mais avec capitalisation, ou un dépôt régulier avec enjeu élevé sans majuscule. Trouver la meilleure façon, vous devrez utiliser la formule ci-dessus pour calculer les intérêts composés sur les dépôts.

La formule peut également être utilisée à l'envers. Par exemple, calculez le taux d'intérêt auquel vous recevrez le profit souhaité dans un certain temps. La formule ressemblera à ceci:% \u003d (Désiré / Initial) 1 / n - 1. Par exemple, vous souhaitez calculer à quel taux d'intérêt, après avoir investi 10 000 roubles pendant un an avec une capitalisation trimestrielle, vous recevrez 15 000 roubles par conséquent. Calculez le taux : % = (15 000 / 10 000) ¼ - 1 = 0,10668. Le taux devrait être de 10,668 %.

intérêts composés Il est d'usage d'appeler l'effet qui se produit lorsque les bénéfices et les intérêts s'accumulent, à la suite de quoi les paiements d'intérêts augmentent de façon exponentielle. La plupart des banques modernes acceptent les clients avec précision à intérêt composé, ce qui est sans aucun doute avantageux pour le déposant. Même Einstein lui-même a apprécié l'importance de la découverte de l'intérêt composé, l'appelant la principale "force motrice du monde".

Afin de mieux comprendre ce qu'est l'intérêt composé, vous devez consulter des exemples avec des calculs.

Comment est calculé l'intérêt composé ?

Une formule simple est utilisée pour calculer :

Dans la formule, SUM signifie le montant final du règlement avec le client, X est le montant de l'investissement, n est le nombre de périodes de facturation. Sur le graphique, vous pouvez voir ce que signifie l'augmentation exponentielle de la somme :

Pour les dépôts bancaires, la formule est un peu plus compliquée, puisqu'un nouvel élément de l'équation est introduit - :

Donc, nous avons besoin de connaître la fréquence de capitalisation. La capitalisation fait référence au recalcul du montant sur lequel les intérêts sont courus - le montant de base est ajouté au montant couru pour la dernière période. Si le recalcul a lieu mensuellement, la fréquence de capitalisation (dans notre formule c'est D) est de 30 jours, si elle est trimestrielle de 90 jours.

Les indicateurs inconnus restants dans la formule de calcul des intérêts composés bancaires sont Y - le nombre de jours dans une année (365 ou 366) et P - le taux d'intérêt. L'ensemble du bloc de valeurs après l'unité sous la parenthèse est appelé taux d'intérêt.

Prenons un exemple :

Citizen I investit 100 000 roubles à 15% par an avec une capitalisation mensuelle. Combien pourra-t-il gagner dans 8 ans ?

A) avec intérêt simple ?

B) avec intérêt composé ?

Donc, nous calculons d'abord le pourcentage simple. 15% de 100 000 roubles équivaut à 15 000 roubles. Si 15 000 roubles sont multipliés par 8, vous tirez un profit d'un dépôt de 120 000 roubles. Ainsi, après 8 ans, citoyen je pourrai retirer 220 mille roubles.

Pour calculer l'intérêt composé, nous substituons les données dans la formule :

Le résultat des calculs devrait être une mauvaise surprise - le bénéfice sera le même de 120 000 roubles. Essayons ensuite de calculer le montant pour la capitalisation annuelle, et non mensuelle :

Nous obtiendrons un résultat qui nous satisfera beaucoup plus - 306 000 bénéfices. Nous concluons : moins la capitalisation est fréquente, plus le profit sera élevé. Les intérêts sont calculés annuellement comme suit :

On peut voir que sous intérêt composé, ils poussent comme une boule de neige. Plus longtemps le déposant ne les retire pas, plus grand sera son profit de mois en mois.

Autres formules utiles

D'autres formules peuvent être utiles pour le calcul des cautions :

1. Taux d'intérêt . La formule indique à quel pourcentage vous devez déposer des fonds pour obtenir le résultat souhaité.

Nous connaissons tous les indicateurs, alors essayons de résoudre l'exemple tout de suite :

A quel pourcentage faut-il mettre 10 000 roubles pour recevoir 80 000 roubles en 15 ans ?

Il est clair que vous devez mettre de l'argent à 15% par an.

1. Nombre de périodes. La formule indique le nombre de périodes d'intérêt dont vous avez besoin pour déposer des fonds pour obtenir le résultat souhaité :

Encore une fois, nous essayons de résoudre un exemple :

Combien de temps faut-il pour déposer de l'argent à 20% par an d'un montant de 150 000 000 roubles afin de recevoir 1 million de roubles?

Le financement est requis pour 10 ans.

INTÉRÊTS COMPOSÉS

Section II. Calcul des intérêts composés

2.1 Intérêt composé

Les intérêts composés sont utilisés dans les transactions financières et de crédit à long terme, si les intérêts ne sont pas payés périodiquement immédiatement après avoir été accumulés pour l'intervalle de temps passé, mais sont ajoutés au montant de la dette. L'addition des intérêts courus au montant ayant servi de base à leur détermination est souvent appelée

capitalisation des intérêts.

formule d'intérêt composé

Soit le montant initial de la dette égal à P , puis dans un an le montant de la dette avec intérêts ajoutés sera P(1+i) , dans 2 ans P(1+i)(1+i)=P(1+ i) 2 , en n années -P( 1+i) n . Ainsi, nous obtenons la formule de régularisation des intérêts composés

où S - montant cumulé, i - taux annuel intérêts composés, n - durée du prêt, (1 + i) n - multiplicateur de régularisation.

Dans les calculs pratiques, des pourcentages discrets sont principalement utilisés, c'est-à-dire intérêts courus pour les mêmes intervalles de temps (année, semestre, trimestre, etc.). L'intérêt composé est une croissance selon la loi d'une progression géométrique dont le premier terme est égal à P et dont le dénominateur est (1 + i).

Notez que pour le terme n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а приn>1 est le contraire. Il est facile de le voir dans des exemples numériques spécifiques. Le plus grand excédent du montant accumulé sur les intérêts simples par rapport au montant accumulé sur les intérêts composés (aux mêmes taux d'intérêt) est atteint au milieu de la période.

Formule pour accumuler des intérêts composés lorsque le taux change dans le temps

Dans le cas où le taux d'intérêt composé change au fil du temps, la formule de régularisation a la forme suivante

où i1 , i2 ,..., ik sont les valeurs successives des taux d'intérêt aux périodes n1, n2,..., nk, respectivement.

Le contrat fixait un taux d'intérêt composé variable, défini comme 20 % par an plus une marge de 10 % les deux premières années, 8 % la troisième année, 5 % la quatrième année. Déterminer la valeur du multiplicateur d'accumulation pendant 4 ans.

(1+0,3)2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

INTÉRÊTS COMPOSÉS

Doubler la formule de la somme

Afin d'évaluer ses perspectives, un prêteur ou un débiteur peut se poser la question : dans combien d'années le montant du prêt augmentera-t-il N fois à un taux d'intérêt donné. Ceci est généralement requis lors de la prévision opportunités d'investissement dans le futur. Nous obtenons la réponse en assimilant le multiplicateur de l'augmentation à la valeur N :

a) pour intérêts simples

b) pour les intérêts composés

(1+icomplexe) n = N, d'où

Particulièrement souvent, N = 2 est utilisé. Alors les formules (21) et (22) sont appelées formules de doublement et prennent la forme suivante :

a) pour intérêts simples

b) pour les intérêts composés

Si la formule (23) est facile à appliquer pour les calculs d'estimation, alors la formule (24) nécessite l'utilisation d'une calculatrice. Cependant, à des taux d'intérêt bas (disons, moins de 10 %), une approximation plus simple peut être utilisée à la place. Il est facile à obtenir si l'on considère que ln 2 0,7 et ln(1+i) i. Puis

INTÉRÊTS COMPOSÉS

b) Avec intérêts composés et la formule exacte :

c) Avec intérêts composés et formule approchée : n ≈ 0,7/i = 0,7/0,1 = 7 ans.

1) La même valeur des taux d'intérêt simple et composé conduit à des résultats complètement différents.

2) À des taux d'intérêt composés bas, les formules exactes et approximatives donnent pratiquement les mêmes résultats.

Calcul des intérêts annuels pour un nombre fractionnaire d'années

Pour les années fractionnaires, des intérêts sont facturés différentes façons: 1) Selon la formule des intérêts composés

Taux d'intérêt nominaux et effectifs

Taux nominal. Soit le taux annuel des intérêts composés égal à j, et le nombre de périodes d'accumulation dans une année m. Ensuite, à chaque fois, des intérêts sont facturés au taux j/m. Le taux j est dit nominal. Les intérêts sont calculés au taux nominal selon la formule :

où N/ τ - nombre (éventuellement fractionnaire) de périodes de calcul des intérêts, τ - période de calcul des intérêts,

INTÉRÊTS COMPOSÉS

2) Par formule mixte

où a est un nombre entier de périodes d'accumulation (c'est-à-dire a= - partie entière en divisant la durée totale du prêtN par la période de régularisationτ),

b - la partie fractionnaire restante de la période d'accumulation (b=N/ τ -a).

Le montant du prêt est de 20 millions de roubles. Fourni pendant 28 mois. Le taux nominal est de 60% par an. Les intérêts sont calculés trimestriellement. Calculez le montant couru dans trois situations : 1) lorsque des intérêts composés sont imputés sur la partie fractionnaire, 2) lorsque des intérêts simples sont imputés sur la partie fractionnaire, 3) lorsque la partie fractionnaire est ignorée. Comparez les résultats.

Les intérêts sont calculés trimestriellement. Il y a 3 = 91 3 trimestres au total.

3) S \u003d 20 (1 + 0,6 / 4) 9 \u003d 70,358 millions de roubles.

D'une comparaison des montants accumulés, on voit qu'il atteint sa valeur maximale dans le second cas, c'est-à-dire lors du calcul de la fraction d'intérêt simple.

Taux effectif montre quel taux d'intérêt composé annuel donne le même résultat financier que m - une augmentation unique par an au taux j / m.

Si les intérêts sont capitalisés m fois par an, à chaque fois au taux de j/m , alors, par définition, on peut écrire l'égalité des multiplicateurs de régularisation correspondants :

où i e - taux effectif, aj - nominal. On en déduit que la relation entre les taux effectifs et nominaux s'exprime par la relation

Calculez le taux d'intérêt effectif si la banque calcule les intérêts trimestriellement, sur la base d'un taux nominal de 10% par an.

INTÉRÊTS COMPOSÉS

Solution je e \u003d (1 + 0,1 / 4) 4 -1 \u003d 0,1038, c'est-à-dire 10,38 %.

Exemple 10

Déterminez ce qui devrait être taux nominal avec une composition trimestrielle des intérêts pour fournir un taux effectif de 12 % par an.

Solution. j =4[(1+0.12) 1/4 -1]=0.11495, soit 11,495 %.

Comptabilité (actualisation) par taux difficile pour cent

Ici, ainsi que dans le cas d'un intérêt simple, deux types de comptabilité seront considérés - mathématique et bancaire.

Comptabilité mathématique. Dans ce cas, le problème est résolu à l'inverse de l'intérêt composé. Écrivons la formule initiale de l'incrément

S=P(1+i)n

et résolvez-le pour P

P = S(1 + 1 je ) n = Svn ,

v n =(1 + 1 je ) n =(1 + je ) - n

remise ou facteur de remise.

Si les intérêts sont calculés m fois par an, alors nous obtenons